Как построить график уравнения

Построить график уравнения значительно проще, чем полагают многие люди. Чтобы понять основные принципы этого процесса, вовсе необязательно быть математическим гением или первым в классе по математике. В данной статье описано, как изображать на графиках линейные и квадратные уравнения и неравенства, а также уравнения с модулями.

Метод 1

Метод 1 из 6:

График линейного уравнения

Загрузить PDF

1
Используйте формулу y=mx+b. Чтобы построить график линейного уравнения, необходимо просто подставить значения в эту формулу.
- Данная формула устанавливает связь между переменными x и y.
- Параметр m соответствует наклону прямой. Иными словами, m указывает на скорость роста (или уменьшения) y с изменением x.
- Параметр b указывает на то, где соответствующая уравнению линия пересекает ось y.
Линейное уравнение изображается наиболее просто, поскольку перед построением графика нет необходимости что-либо считать. Для начала постройте прямоугольную систему координат.
3
Найдите точку пересечения линии с осью y (это b). Например, в случае уравнения y=2x-1 параметр b равен -1, то есть линия пересекает ось y в точке -1.
- В точке пересечения оси y координата x всегда принимает значение 0. Таким образом, в нашем примере точка пересечения имеет координаты (0,-1).
- Отметьте на графике точку пересечения линии с осью y.
4
Найдите наклон линии. Для прямой наклон соответствует параметру m. В случае уравнения y=2x-1 этот параметр равен 2. Однако следует учесть, что наклон указывает на изменение y с ростом x, то есть его следует представить в виде дроби. Поскольку при координате x стоит целое число 2, можно записать наклон в виде 2/1.
- Чтобы изобразить наклон на графике, начните с точки пересечения оси y. При этом изменение координаты y соответствует числителю, а изменение координаты x — знаменателю дроби.
- В нашем примере можно начать от точки -1 и сдвинуться от нее вверх на 2 и вправо на 1.
- Положительный наклон означает, что при росте x вы поднимаетесь по y, в то время как при отрицательном наклоне y уменьшается. Переменная x растет вправо по горизонтальной оси и уменьшается в левую сторону.
- При определении наклона можно использовать сколько угодно точек, хотя достаточно одной точки.
После того как вы определите наклон прямой и нанесете хотя бы одну точку, можно соединить ее с точкой пересечения оси y и провести прямую линию. Продолжите линию до краев графика и нарисуйте на ее концах стрелки, чтобы обозначить, что она продолжается дальше.^{[1]XИсточник информации}
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 6:

График неравенства с одной переменной

Загрузить PDF

Поскольку для изображения неравенства с одной переменной достаточно одной оси, нет необходимости рисовать прямоугольную систему координат. Вместо этого просто проведите прямую линию.
2
Изобразите неравенство. Это довольно просто, так как имеется всего лишь одна координата. Предположим, необходимо изобразить неравенство x<1. Для начала следует найти на оси число 1.
- Если неравенство задается знаком > или < (“больше” или “меньше”), обведите заданное число пустым кружком.
- Если неравенство задается знаком $\geq$ (“больше или равно”) или $\leq$ (“меньше или равно”), закрасьте кружок вокруг точки.
Проведите линию из только что отмеченной точки на числовой оси. Если переменная больше данного числа, отложите линию вправо. Если переменная меньше, проведите линию влево. На конце линии поставьте стрелку, чтобы показать, что она не является конечным отрезком и продолжается дальше.
Подставьте вместо переменной x какое-либо число и отметьте его положение на числовой оси. Если это число лежит на проведенной вами линии, график верен.
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 6:

График линейного неравенства

Загрузить PDF

1
Используйте формулу прямой линии. Подобная формула использовалась выше для обычных линейных уравнений, однако в данном случае вместо знака ‘=’ следует поставить знак неравенства. Это может быть один из следующих знаков: <, >, $\leq$ $How.com.vn Русский: \leq$ или $\geq$ $How.com.vn Русский: \geq$ .
- Уравнение прямой линии имеет вид y=mx+b, где m соответствует наклону, а b — пересечению с осью y.
- Знак неравенства означает, что данное выражение имеет множество решений.
Найдите точку пересечения прямой с осью y и ее наклон, после чего отметьте соответствующие координаты. В качестве примера рассмотрим неравенство y>1/2x+1. В этом случае прямая будет пересекать ось y при x=1, а ее наклон составит ½, то есть при движении вправо на 2 единицы мы будем подниматься вверх на 1 единицу.
Перед этим посмотрите на знак неравенства. Если это < или >, следует провести пунктирную линию. Если в неравенстве стоит знак $\leq$ или $\geq$ , линия должна быть сплошной.
4
Заштрихуйте график. Так как неравенство имеет множество решений, на графике следует показать все возможные решения. Это означает, что следует заштриховать область над линией или под ней.
- Выберите координаты точки — часто проще всего выбрать начало координат (0,0). Посмотрите, находится ли выбранная точка над проведенной линией или под ней.
- Подставьте координаты точки в неравенство. Для нашего примера получаем 0>1/2(0)+1. Проверьте, выполняется ли неравенство.
- Если выбранная точка лежит над линией и неравенство выполняется, заштрихуйте область над линией. Если же неравенство не выполняется, следует заштриховать область под линией. Если выбранная точка лежит под линией и неравенство выполняется, заштрихуйте участок под линией. Если неравенство не выполняется, следует заштриховать область над линией.
- В нашем примере точка (0,0) расположена ниже линии, и при подстановке координат неравенство не выполняется. Значит, следует заштриховать область над линией.^{[2]XИсточник информации}
Реклама

Метод 4

Метод 4 из 6:

График квадратного уравнения

Загрузить PDF

1
Посмотрите на формулу. В квадратном уравнении хотя бы одна переменная возводится в квадрат. Обычно квадратное уравнение записывается в следующем виде: y=ax²+bx+c.
- При построении графика квадратного уравнения у вас получится парабола, то есть кривая в виде латинской буквы ‘U’.
- Для построения параболы необходимо знать координаты хотя бы трех точек, в том числе вершины параболы (ее центральной точки).
Например, в уравнении y=x²+2x+1 a=1, b=2 и c=1. Каждый параметр представляет собой число, которое стоит перед переменной в соответствующей степени. Например, если перед x не стоит никакого числа, значит b=1, поскольку соответствующее слагаемое можно записать в виде 1x.
Чтобы найти среднюю точку параболы, используйте выражение -b/2a. Для нашего примера получаем -2/2(1), то есть -1.
Итак, мы знаем, что координата x вершины равна -1. Однако это лишь одна координата. Чтобы найти соответствующую ей координату y, а также две другие точки параболы, необходимо составить таблицу.
5
Постройте таблицу из трех строк и двух столбцов.
- Запишите координату x вершины параболы в центральной ячейке левого столбца.
- Выберите еще две координаты x на одинаковом расстоянии слева и справа (в отрицательную и положительную стороны вдоль горизонтальной оси). Например, можно отступить от вершины на 2 единицы влево и вправо, то есть записать в соответствующих ячейках -3 и 1.
- Можно выбрать любые целые числа, которые отстоят от вершины на равном расстоянии.
- Если вы хотите построить более точный график, вместо трех можно взять пять точек. В этом случае следует делать то же самое, только таблица будет состоять не из трех, а из пяти строк.
6
Используйте уравнение и таблицу, чтобы найти неизвестные координаты y. Берите по одной координате x из таблицы, подставляйте ее в заданное уравнение и находите соответствующую координату y.
- В нашем случае мы подставляем в уравнение y=x²+2x+1 вместо x -3. В результате находим y= -3²+2(-3)+1, то есть y=4.
- Записываем найденную координату y в ячейке возле соответствующей ей координаты x.
- Найдите таким образом все три (или пять, если вы используете больше точек) координаты y.
Итак, у вас получилось по крайней мере три точки с известными координатами, которые можно отметить на графике. Соедините их кривой в форме параболы. Готово!
Реклама

Метод 5

Метод 5 из 6:

График квадратного неравенства

Загрузить PDF

В квадратном неравенстве используется формула, аналогичная квадратному уравнению, однако вместо знака ‘=’ стоит знак неравенства. Например, квадратное неравенство может выглядеть следующим образом: y<ax²+bx+c. Используйте шаги из предыдущего метода “График квадратного уравнения” и найдите три точки параболы.
Хотя трех точек достаточно, чтобы провести параболу, пока что не делайте этого.
3
Соедините точки. В данном случае строится график неравенства, поэтому линия будет выглядеть несколько иначе.
- Если в качестве знака неравенства стоит “больше” или “меньше” (> или <), соедините точки пунктирной линией.
- Если в неравенстве стоит знак “больше или равно” или “меньше или равно” ( $\geq$ или $\leq$ ), соедините точки сплошной линией.
- На концах линии нарисуйте стрелки, чтобы показать, что она продолжается за пределы графика.
4
Заштрихуйте график. Чтобы указать на множество решений, заштрихуйте тот участок графика, для которого выполняется неравенство. Для этого подставьте в формулу пару координат. Например, можно выбрать точку (0,0). Посмотрите, лежит ли точка с такими координатами снаружи или внутри параболы.
- Решите неравенство для выбранных координат. В нашем примере следует подставить в неравенство y>x²-4x-1 координаты (0,0). В результате получится выражение 0>0²-4(0)-1.
- Если точка лежит внутри параболы и неравенство выполняется, заштрихуйте внутреннюю область параболы. Если неравенство не выполняется, заштрихуйте внешнюю область.
- Если точка лежит за пределами внутренней области параболы и неравенство выполняется, заштрихуйте внешнюю область. Если неравенство не выполняется, заштрихуйте внутреннюю область параболы.^{[3]XИсточник информации}
Реклама

Метод 6

Метод 6 из 6:

График уравнения с модулем

Загрузить PDF

Простейшим уравнением с модулем является выражение y=|x|. Уравнение может содержать также другие числа и выражения.
2
Приравняйте абсолютное значение к нулю. Просто подставьте вместо всех выражений под знаком модуля 0: | | =0. Рассмотрим пример y=|x-2|+1: в этом случае подставляем |x-2|=0. Отсюда находим, что абсолютное значение равно 2.
- Абсолютное значение представляет собой число точек от |x| до 0 вдоль числовой оси. Абсолютное значение |2| равно 2, и абсолютное значение |-2| также равно 2. Это потому, что 2 и -2 расположены от нуля на расстоянии 2.
- Под знаком модуля может стоять одна переменная x. В этом случае абсолютное значение равно 0. Например, уравнение y=|x|+3 приобретает вид y=|0|+3, то есть y становится равно 3.
3
Составьте таблицу. Понадобятся три строки и два столбца.
- Запишите в среднюю строку координату абсолютного значения.
- Выберите два других числа, которые отстоят на одинаковом расстоянии от уже записанной координаты x в большую и меньшую стороны. Если |x|=0, выберите два числа на одинаковом расстоянии от нуля.
- Хотя подойдут любые числа, удобнее выбирать значения неподалеку от первой координаты. Кроме того, это должны быть целые числа.
Необходимо найти соответствующие значения y для выбранных трех значений координаты x. Для этого подставьте величины координаты x в неравенство и найдите значения y. Запишите найденные значения в таблицу.
Чтобы построить график уравнения с модулем, достаточно трех точек, хотя при желании можно использовать и больше. График уравнения с абсолютным значением будет иметь форму латинской буквы “V”. Нарисуйте на концах стрелки, чтобы показать, что линии продолжаются дальше.^{[4]XИсточник информации}
Реклама