Phép toán hai ngôi

Nhiều phép toán thông thường bao gồm phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia trên các tập số là các phép toán hai ngôi. Với các phép toán này, ta cần chỉ rõ tập hợp trên đó thực hiện phép toán. Chẳng hạn phép cộng và phép nhân có thể áp dụng trên tất cả các tập hợp số đã biết ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {I} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ . Trong khi đó, phép trừ không phải luôn thực hiện được trên tập số tự nhiên ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , do đó không phải là phép toán hai ngôi trên ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . Tương tự, phép chia (đúng) không là phép toán hai ngôi trên tập số nguyên.

Các phép toán hai ngôi cũng xuất hiện nhiều trong đại số trừu tượng; chúng nằm trong định nghĩa của các cấu trúc đại số như: nhóm, phỏng nhóm, nửa nhóm, vành... Tổng quát, một magma là một tập hợp cùng với một phép toán hai ngôi trên nó.

Khi nghiên cứu các cấu trúc đại số ta thường đề cập đến một số phép toán hai ngôi thỏa mãn một số điều kiện đặc biệt. Phép toán hai ngôi * trên tập hợp S được gọi là:

• có tính chất kết hợp nếu:

  ${\displaystyle \forall a,b,c\in S,(a*b)*c=a*(b*c)}$

• có tính chất giao hoán nếu:

  ${\displaystyle \forall a,b\in S,a*b=b*a}$

• có phần tử trung hòa bên trái θ thuộc S nếu:

  ${\displaystyle \forall a\in S,\theta *a=a}$

• có phần tử trung hòa bên phải θ thuộc S nếu:

  ${\displaystyle \forall a\in S,a*\theta =a}$

Ngoài ra, nếu trên S có hai phép toán + và * thì phép * được gọi là phân phối bên trái đối với phép + nếu

${\displaystyle \forall a,b,c\in S,a*(b+c)=(a*b)+(a*c)}$

tương tự với tính phân phối bên phải.