Định lý Pascal
Định lý Pascal (còn được biết đến với tên định lý lục giác huyền bí) là một định lý trong hình học phẳng đặt theo tên nhà toán học người Pháp là Blaise Pascal. Nội dung định lý khẳng định rằng cho sáu điểm bất kỳ trên một conic (ví dụ elip, parabol hoặc hyperbol) khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện thẳng hàng. Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Pascaltheoremgenericwithlabels.svg/220px-Pascaltheoremgenericwithlabels.svg.png)
Chứng minh
sửa- Có nhiều cách chứng minh cho định lý này, ví dụ chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ceva, định lý Menelaus, sử dụng số phức, hoặc bằng các phương pháp tọa độ.
Kết quả liên quan
sửa- Định lý Kirman: Đường thẳng Pascal của các lục giác
và
đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Kirman, tổng cộng có 60 điểm Kirman, trong đó có 3 điểm Kirman và một điểm Steiner nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Cayley [1][2][3]
- Định lý Steiner: Đường thẳng Pascal của các lục giác
và
đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Steiner, tổng cộng có 20 điểm Steiner, trong đó có 1 điểm Steiner và ba điểm Kirman nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Caley [1][4][5]
- Điểm Salmon: Tổng cộng có 20 đường thẳng Caley, bốn đường thẳng Caley sẽ đồng quy tại một điểm gọi là điểm Salmon. Mỗi một điểm Salmon lại đối ngẫu với một đường thẳng gọi là đường thẳng Plücker.[6]
Mở rộng và suy biến
sửaMở rộng
sửa- Định lý Cayley–Bacharach: Cho hai đường bậc ba C1 và C2 trong mặt phẳng xạ ảnh gặp nhau tại 9 điểm, tất cả chín điểm này đều nằm trong trường đóng đại số. Khi đó tất cả các đường bậc ba đi qua 8 điểm thì cũng đi qua điểm thứ 9.[7]
Suy biến
sửa![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Pascal-3456.png/450px-Pascal-3456.png)
- Định lý Pappus: Trường hợp đường conic suy biến thành hai đường thằng thì định lý Pascal trở thành định lý Pappus.
- Trường hợp lục giác suy biến thành ngũ giác: Cho ngũ giác
nội tiếp một đường conic,
là giao điểm của tiếp tuyến của đường conic tại
giao và đường thẳng
,
là giao điểm của đường thẳng AB giao với đường thẳng
là giao điểm của đường thẳng
và đường thẳng
. Thì
thẳng hàng.
- Trường hợp lục giác suy biến thành tứ giác: Cho tứ giác
nằm trên một đường conic, M là giao điểm của tiếp tuyến của đường conic tại
và tiếp tuyến đường conic tại
.
là giao điểm của
và
là giao điểm của
và
, thì
thẳng hàng.
- Trường hợp lục giác suy biến thành tam giác: Cho tam giác ABC tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại
cắt các cạnh
lần lượt tại
khi đó
thẳng hàng.
Tính chất của lục giác và đường thẳng Pascal
sửa- Cho lục giác
, gọi
,
,
như hình vẽ đầu tiên. Khi đó sáu đỉnh của lục giác nội tiếp một đường conic nếu và chỉ nếu
thẳng hàng. Hai điều kiện đó tương đương với một hệ thức sau đây:[8]
Xem thêm
sửaChú thích
sửa- ^ a b Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 236-237, 1929.
- ^ Cremona, L. "Osservazioni sull'hexagrammum mysticum." Transunti della R. Acc. Nazionale dei Lincei 1, 142-143, 1876-77.
- ^ ohnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 236-237, 1929.
- ^ Steiner, J. "Questions proposées. Théorèmes sur l'hexagramum mysticum." Ann. Math. 18, 339-340, 1827-1828.
- ^ Salmon, G. "Notes: Pascal's Theorem, Art. 267" in A Treatise on Conic Sections, 6th ed. New York: Chelsea, pp. 379-382, 1960.
- ^ http://mathworld.wolfram.com/SalmonPoints.html
- ^ A. Cayley, On the Intersection of Curves (published by Cambridge University Press, Cambridge, 1889).
- ^ “A Property of Pascal's Hexagon Pascal May Have Overlooked”. ngày 3 tháng 2 năm 2014.
Tham khảo
sửa- Biggs, N. L. (1981), “T. P. Kirkman, mathematician”, The Bulletin of the London Mathematical Society, 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97, MR 0608093
- Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967), Geometry Revisited, Washington, DC: Mathematical Association of America, tr. 76
- Guggenheimer, Heinrich W. (1967), Plane geometry and its groups, San Francisco, Calif.: Holden–Day Inc., MR 0213943
- Mills, Stella (tháng 3 năm 1984), “Note on the Braikenridge–Maclaurin Theorem”, Notes and Records of the Royal Society of London, The Royal Society, 38 (2): 235–240, doi:10.1098/rsnr.1984.0014, JSTOR 531819
- Pascal, Blaise (1640). “Essay povr les coniqves” (facsimile). Niedersächsiche Landesbibliothek, Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek. Truy cập ngày 21 tháng 6 năm 2013.
- Smith, David Eugene (1959). A Source Book in Mathematics. New York: Dover. ISBN 0-486-64690-4.
- Stefanovic, Nedeljko (2010). A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications (PDF). Indian Academy of Sciences.
- Wells, David (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin Books. ISBN 0-14-011813-6.
- Young, John Wesley (1930). Projective Geometry. The Carus Mathematical Monographs, Number Four. The Mathematical Association of America.
- van Yzeren, Jan (1993). A simple proof of Pascal's hexagon theorem. The American Mathematical Monthly. 100. Mathematical Association of America. tr. 930–931. doi:10.2307/2324214. ISSN 0002-9890. JSTOR 2324214. MR 1252929.
Liên kết ngoài
sửa- Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) tại Cut-The-Knot
- 60 Pascal Lines (Java required) tại Cut-The-Knot
- The Complete Pascal Figure Graphically Presented Lưu trữ 2012-11-29 tại Archive.today by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
- Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 891 kB), Uni Darmstadt, S. 29-35.
🔥 Top keywords: 2112: Doraemon ra đời300 (phim)Anh hùng xạ điêu (phim truyền hình 2003)Bùng phát virus Zika 2015–2016Chuyên gia trang điểmCristiano RonaldoCá đuối quỷDanh sách Tổng thống Hoa KỳDanh sách câu thần chú trong Harry PotterDanh sách tài khoản Instagram có nhiều lượt theo dõi nhấtGiải Oscar cho phim ngắn hay nhấtHoan Ngu Ảnh ThịHầu tướcHọc thuyết tế bàoJason Miller (communications strategist)Lễ hội Chọi trâu Đồ SơnLộc Đỉnh ký (phim 1998)Natapohn TameeruksNinh (họ)Phim truyền hình Đài LoanRobloxThanh thiếu niênThần tượng teenThổ thần tập sựTrang ChínhTập hợp rỗngTỉnh của Thổ Nhĩ KỳVõ Thần Triệu Tử LongXXX (loạt phim)Âu Dương Chấn HoaĐào Trọng ThiĐại học Công giáo ParisĐệ Tứ Cộng hòa PhápĐổng Tiểu UyểnĐài Truyền hình Kỹ thuật số VTCTrang ChínhGruziaBảng xếp hạng bóng đá nam FIFAĐặc biệt:Tìm kiếmGiải vô địch bóng đá châu Âu 2024Đội tuyển bóng đá quốc gia GruziaĐội tuyển bóng đá quốc gia Cộng hòa SécGiải vô địch bóng đá châu ÂuĐội tuyển bóng đá quốc gia Thổ Nhĩ KỳThích Minh TuệCristiano RonaldoĐài Truyền hình Việt NamGiải vô địch bóng đá châu Âu 2020Đội tuyển bóng đá quốc gia Bồ Đào NhaCleopatra VIIThổ Nhĩ KỳKylian MbappéVòng loại giải vô địch bóng đá châu Âu 2024Việt NamArda GülerRomelu LukakuBồ Đào NhaGeorgiaThích Chân QuangDanh sách phim điện ảnh Thám tử lừng danh ConanTô LâmGiải vô địch bóng đá thế giới 2022SécCửu Long Thành Trại: Vây thànhVladimir Vladimirovich PutinCúp bóng đá Nam MỹLương Tam QuangSlovakiaKhvicha KvaratskheliaEuroLionel MessiN'Golo KantéĐặc biệt:Thay đổi gần đây