Тензор енергії-імпульсу

В класичній механіці рух неперервної речовини описує гідродинаміка і теорія пружності твердих тіл. Кожна частинка речовини в точці 3-вимірного простору (x, y, z) і в деякий момент часу t описується густиною:

${\displaystyle (1)\qquad \rho =\rho (x,y,z,t)={dm \over dV}}$

а також швидкістю в цій точці:

${\displaystyle (2)\qquad \mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z,t)}$

і тензором напружень ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$ , який описує силову взаємодію частинки речовини з сусідніми частинками.

${\displaystyle (3)\qquad \sigma _{\alpha \beta }=\sigma _{\alpha \beta }(x,y,z,t)}$

У випадку рідини чи газу, тензор напружень діагональний і виражається через тиск ${\displaystyle p}$ формулою:

${\displaystyle (4)\qquad \sigma _{\alpha \beta }=p\delta _{\alpha \beta }}$

тобто тиск діє в усіх напрямках однаково (закон Паскаля).

Як відомо, енергія та імпульс повинні розглядатися в поєднанні зі швидкістю, що описується чотири-вектором енергії-імпульсу:

${\displaystyle (6)\qquad p_{\alpha }=\left\{{E \over c},\,p_{x},\,p_{y},\,p_{z}\right\}}$

Оскільки речовина «розмазана» в просторі, виділимо в якийсь момент часу (${\displaystyle t=t_{0}}$ ) елемент об'єму ${\displaystyle \Delta V}$ . Величина чотири-вектора енергії-імпульсу ${\displaystyle \Delta p_{\alpha }}$ для частини речовини, що потрапила в цей об'єм, пропорційна самому об'єму з деякими коефіцієнтами пропорційності ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{\alpha }}$ :

${\displaystyle (7)\qquad \Delta p_{\alpha }={\tilde {\rho }}_{\alpha }\Delta V}$

Ліва частина цього рівняння є чотири-вектором. Дослідимо, з точки зору тензорного аналізу, що собою являє добуток в правій частині рівняння.
Почнемо з тривимірного об'єму ${\displaystyle \Delta V}$ , представивши його у вигляді паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ . Ці вектори можна вважати чотири-векторами, з нульовою першою (часовою) координатою. Об'єм є величиною тензора третього рангу, що складений зовнішнім добутком цих векторів:

${\displaystyle (8)\qquad \Delta V_{\alpha \beta \gamma }=\left(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \right)_{\alpha \beta \gamma }}$

Користуючись одиничним антисиметричним тензором, ми можемо також скласти дуальний чотири-вектор:

${\displaystyle (9)\qquad \Delta V^{\lambda }=i\varepsilon ^{\lambda \alpha \beta \gamma }a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }={\sqrt {-g}}{\hat {\varepsilon }}^{\lambda \alpha \beta \gamma }a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }}$

де g — детермінант метричного тензора.

В цій формулі множник уявної одиниці введено для того, щоб компоненти вектора ${\displaystyle \Delta V^{\lambda }}$ були дійсними числами. Величина цього вектора дорівнює об'єму ${\displaystyle \Delta V}$ , а напрям ортогональний до складових векторів ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ . Тобто у вибраній системі координат він напрямлений вздовж осі часу:

${\displaystyle (10)\qquad \Delta V^{\lambda }=\left\{{\Delta V \over c},\,0,\,0,\,0\right\}}$

Тепер ми можемо, змінюючи при потребі позначення коефіцієнтів ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{\alpha }}$ переписати формулу (7) так:

${\displaystyle (11)\qquad \Delta p_{\alpha }={\tilde {\rho }}_{\alpha 0}{\Delta V^{0} \over c}=c{\tilde {\rho }}_{\alpha 0}\Delta V^{0}+c{\tilde {\rho }}_{\alpha 1}\Delta V^{1}+c{\tilde {\rho }}_{\alpha 2}\Delta V^{2}+c{\tilde {\rho }}_{\alpha 3}\Delta V^{3}}$

У цій формулі ми спочатку вели ще один індекс «нуль» у позначенні коефіцієнтів, а потім чисто формально додали ще три нульові доданки (оскільки згідно з (10) просторові компоненти вектора ${\displaystyle \Delta V}$ дорівнюють нулю).

Права частина формули (11) має вигляд добутку швидкості світла на згортку тензора другого рангу з вектором. Позначимо тензор ${\displaystyle T_{\alpha \beta }=c{\tilde {\rho }}_{\alpha \beta }}$ і назвемо його тензором енергії-імпульсу. Тоді чотири-вектор енергії-імпульсу речовини, яка потрапила в елемент об'єму ${\displaystyle \Delta V}$ , згідно з формулою (11) запишеться у вигляді згортки тензора енергії-імпульсу з чотиривектором об'єму:

${\displaystyle (12)\qquad \Delta p_{\alpha }=T_{\alpha \beta }\Delta V^{\beta }}$

Розписуючи покомпонентно формулу (12) і враховуючи (6) знаходимо, що коли ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle (13)\qquad {\Delta E \over c}=T_{00}\Delta V^{0}=T_{00}{\Delta V \over c}}$

${\displaystyle (13a)\qquad T_{00}={\Delta E \over \Delta V}}$

тобто верхній лівий елемент матриці ${\displaystyle T}$ має смисл густини енергії.

Тепер прирівняємо індекс ${\displaystyle \alpha }$ одній з просторових координат, наприклад ${\displaystyle \alpha =1}$ . Тоді

${\displaystyle (14)\qquad \Delta p_{1}=T_{10}\Delta V^{0}=T_{10}{\Delta V \over c}}$

Звідки ми можемо виразити ${\displaystyle T_{10}}$ двома способами, беручи до уваги зв'язок імпульсу з масою ${\displaystyle \Delta p_{1}=\Delta mv_{1}}$ та формулу Ейнштейна ${\displaystyle \Delta E=\Delta mc^{2}}$ :

${\displaystyle (15)\qquad T_{10}=c{\Delta p_{1} \over \Delta V}={1 \over c}v_{1}{\Delta E \over \Delta V}}$

Відповідно маємо два трактування компоненти ${\displaystyle T_{10}}$ : або густина проєкції імпульсу, помножена на швидкість світла, або потік енергії в напрямку осі абсцис, поділений на швидкість світла.

В класичній механіці сукупний імпульс системи фізичних тіл і електромагнітного поля зберігається, тобто не змінюється з часом. Те саме стосується енергії, якщо розглядати дію тільки консервативних сил. Спробуємо з'ясувати, як ці закони збереження відображаються в теорії відносності на властивостях тензора енергії-імпульсу.

Почнемо з того, що енергія і імпульс утворюють чотири-вектор (6). Операцію додавання двох просторово-рознесених векторів можна здійснити, здійснивши паралельне перенесення одного вектора в точку знаходження іншого. Така операція буде однозначною лише для плоского простору, з нульовим тензором Рімана. Отже почнемо з розгляду невеликої, обмеженої в просторі механічної системи, гравітаційним полем якої (а отже і викривленням простору) можна знехтувати. Для цього треба, щоб усі маси тіл були досить малими. Систему координат будемо вважати прямокутною декартовою.

Виберемо фіксований момент часу ${\displaystyle t=t_{(1)}}$ i знайдемо сукупний чотири-вектор енергії-імпульсу системи, проінтегрувавши формулу (12) по всьому тривимірному простору (який є гіперплощиною в чотиривимірному просторі-часі):

${\displaystyle (16)\qquad P_{i}^{(1)}=\int _{t=t_{(1)}}T_{i0}dV^{0}}$

В інший момент часу ${\displaystyle t=t_{(2)}}$ чотири-вектор енергії-імпульсу залишиться незмінним, і нульову різницю ми можемо записати у вигляді інтеграла по чотиривимірному прошарку між двома гіперплощинами:

${\displaystyle (17)\qquad 0=P_{i}^{(2)}-P_{i}^{(1)}=\int \left(T_{i0}{\big |}_{t_{(2)}}-T_{i0}{\big |}_{t_{(1)}}\right)dV^{0}=\int {\partial T_{i0} \over \partial t}dtdV^{0}=\int {\partial T_{i0} \over \partial x_{0}}d\tau }$

В останньому інтегралі диференціал ${\displaystyle d\tau }$ є інваріантним елементом чотиривимірного об'єму (див. Інтегрування по об'єму многовида):

${\displaystyle (18)\qquad d\tau =d(ct)dV^{0}=dx_{0}dV^{0}={\sqrt {-g}}dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

Оскільки всі фізичні закони мають носити тензорний характер (а отже не залежати від вибору системи координат), то і підінтегральну функцію в правій частині (17) ми повинні замінити на істинний скаляр:

${\displaystyle (19)\qquad \nabla ^{j}T_{ij}=g^{jk}{\partial T_{ij} \over \partial x^{k}}={\partial T_{i0} \over \partial x^{0}}-{\partial T_{i1} \over \partial x^{1}}-{\partial T_{i2} \over \partial x^{2}}-{\partial T_{i3} \over \partial x^{3}}}$

диференціальний оператор ${\displaystyle \nabla ^{j}=g^{jk}\nabla _{k}}$ (називається «набла» або коваріантна похідна, див. статтю Диференціальна геометрія) визначений навіть для кривого простору формулою:

${\displaystyle (20)\qquad \nabla ^{j}T_{ij}=g^{jk}\nabla _{k}T_{ij}=g^{jk}\left({\partial T_{ij} \over \partial x^{k}}-\Gamma _{ki}^{s}T_{sj}-\Gamma _{kj}^{s}T_{is}\right)}$

У випадку метрики Мінковського:

${\displaystyle (21)\qquad (g_{ij})=(g^{ij})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

метричний тензор виражається діагональною матрицею з постійними коефіцієнтами, тому символи Крістофеля в формулі (20) дорівнюють нулю, чим ми і скористалися в перетвореннях формули (19).

Перевіримо, що «зайві» три доданки в (19) не псують рівності (17). Оскільки наша механічна система обмежена в тривимірному просторі, то ми можемо взяти достатньо великий тривимірний прямокутний паралелепіпед:

${\displaystyle (22)\qquad P=\left\{x_{(1)}<x<x_{(2)},\;y_{(1)}<y<y_{(2)},\;z_{(1)}<z<z_{(2)}\right\}}$

в якому повністю міститься система в розлядуваному інтервалі часу (${\displaystyle t\in \left\{t_{(1)},\,t_{(2)}\right\}}$ ).Це зокрема означає, що за межами паралелепіпеда ${\displaystyle P}$ (а також на його стінках), тензор енергії-імпульсу ${\displaystyle T_{ij}}$ разом зі своїми похідними ${\displaystyle {\partial T_{ij} \over \partial x^{k}}}$ перетворюється в нуль. Тому замість формули (17) ми можемо обмежити область інтегрування паралелепіпедом ${\displaystyle P}$ і перейти від кратного до повторного інтеграла:

${\displaystyle (23)\qquad \int _{P}\nabla ^{j}T_{ij}d\tau =\int _{t_{(1)}}^{t_{(2)}}d(ct)\int _{x_{(1)}}^{x_{(2)}}dx\int _{y_{(1)}}^{y_{(2)}}dy\int _{z_{(1)}}^{z_{(2)}}\nabla ^{j}T_{ij}dz}$

Якщо ми в самий внутрішній інтеграл (23) підставимо останній доданок формули (19), то одержимо нуль:

${\displaystyle (24)\qquad \int _{z_{(1)}}^{z_{(2)}}{\partial T{i3} \over \partial z}dz=T_{i3}{\big |}_{z_{(2)}}-T_{i3}{\big |}_{z_{(1)}}=0}$

оскільки на гранях паралелепіпеда ${\displaystyle P}$ тензор енергії-імпульсу перетворюється в нуль. Аналогічно і інтеграл від середніх двох доданків в формулі (19) дорівнює нулю. Таким чином, закон збереження енергії та імпульсу виражається формулою:

${\displaystyle (25)\qquad \int \nabla ^{j}T_{ij}d\tau =0}$

де інтегрування проводиться в чотиривимірному просторі між двома тривимірними гіперплощинами.

Формулу (25) не можна застосовувати в кривому просторі: по-перше вектори у віддалених точках не можна додавати внаслідок неоднозначності паралельного переносу векторів, а по-друге, неясно чим можна замінити паралельні гіперплощини в кривому просторі.

Окрім того, інтегральний закон збереження не накладає інтуїтивно-зрозумілого обмеження на рух матерії: вона, а також енергія і імпульс, не може перескакувати з одної точки простору у віддалену точку, вони можуть лише плавно «перетікати» через сусідні точки простору. Наприклад енергія не може потрапити з електростанції в лампочку через обірвані провода. Цим ми словесно описали локальність законів збереження енергії-імпульсу.

Звернемось до формул. В деякій точці (можна викривленого) простору-часу виберемо систему координат ${\displaystyle Otxyz}$ , що є декартовою в даній точці, і в ній задамо маленький (порівняно з радіусами кривини простору та координатних ліній) чотиривимірний прямокутний паралелепіпед:

${\displaystyle (26)\qquad P=\left\{t\in \{t_{(1)},t_{(2)}\},\;x\in \{x_{(1)},x_{(2)}\},\;y\in \{y_{(1)},y_{(2)}\},\;z\in \{z_{(1)},z_{(2)}\},\;\right\}}$

і запишемо формулу Остроградського-Ґаусса для дивергенції тензора енергії-імпульсу в цьому паралелепіпеді:

${\displaystyle (27)\qquad \int _{P}\nabla ^{j}T_{ij}d\tau =\oint _{\partial P}T_{ij}dV^{j}}$

в цій формулі через ${\displaystyle \partial P}$ позначена тривимірна «поверхня» паралелепіпеда ${\displaystyle P}$ , яка складається із восьми «граней», а інтегрування по цій поверхні враховує напрям вектора нормалі, який напрямлений назовні паралелепіпеда ${\displaystyle P}$ .

Дві грані, які ми для наочності назвемо «дном» і «кришкою», є паралелепіпедами в тривимірному просторі ${\displaystyle xyz}$ , взятими відповідно в момент часу ${\displaystyle t_{(1)}}$ і ${\displaystyle t_{(2)}}$ . Тензор енергії-імпульсу якби втікає всередину паралелепіпеда через «дно» і витікає через «кришку». Різниця інтегралів по цих двох «гранях» має смисл зміни чотири-вектора енергії-імпульсу в об'ємі ${\displaystyle \Delta x\Delta y\Delta z}$ за час ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle (28)\qquad \Delta p_{i}=\int _{t_{(2)}}T_{i0}dV^{0}-\int _{t_{(2)}}T_{i0}dV^{0}}$

Очевидно, ця зміна повинна потрапити в тривимірний об'єм ${\displaystyle \Delta x\Delta y\Delta z}$ через поверхню цього об'єму.

Розглянемо притік енергії через грань ${\displaystyle x=x_{(1)}}$ площею ${\displaystyle \Delta y\Delta z}$ за інтервал часу ${\displaystyle \Delta t}$ :

${\displaystyle (29)\qquad \Delta E\approx S_{x}\Delta x\Delta y\Delta t}$

де ${\displaystyle S_{x}}$  — щільність потоку енергії в напрямку осі абсцис. Порівняємо цей вираз з поверхневим інтегралом в правій частині формули (27) по відповідній тривимірній «бічній» грані паралелепіпеда ${\displaystyle P}$ :

${\displaystyle (30)\qquad \Delta p_{0}={\Delta E \over c}=\int _{x=x_{(1)}}T_{0j}dV^{j}\approx T_{01}\Delta V^{1}=T_{01}\Delta y\Delta z\Delta t}$

Ми можемо визначити компоненту тензора енергії-імпульсу

${\displaystyle (31)\qquad T_{0i}={S_{i} \over c}}$

так, щоб формули (29) і (30) відповідали одна одній. З формул (15) і (30) слідує симетрія частини компонент тензора енергії-імпульсу:

${\displaystyle (32)\qquad T_{0i}=T_{i0}}$

Тепер розглянемо притік імпульсу через цю саму грань ${\displaystyle x=x_{(1)}}$ площею ${\displaystyle \Delta y\Delta z}$ . Він складається з двох доданків: по-перше, через цю грань протікає матерія масою:

${\displaystyle (33)\qquad \Delta m=\rho v_{x}\Delta t\Delta y\Delta z}$

яка переносить із собою імпульс:

${\displaystyle (34)\qquad \Delta p_{i}^{(1)}=\Delta mv_{i}=\rho v_{x}v_{i}\Delta y\Delta z\Delta t}$

і по-друге, через цю грань діє момент сили від сусідньої комірки простору через внутрішні напруження речовини (тиск):

${\displaystyle (35)\qquad \Delta p_{i}^{(2)}=F_{i}\Delta t=\sigma _{i1}\Delta y\Delta z\Delta t}$

Сумарний потік імпульсу прирівняємо до потоку відповідної компоненти тензора енергії-імпульсу:

${\displaystyle (36)\qquad \Delta p_{i}=\left(\rho v_{x}v_{i}+\sigma _{i1}\right)\Delta y\Delta z\Delta t=T_{i1}dV^{1}}$

Таким чином, ми уже визначили всі компоненти тензора енергії-імпульсу через величини класичної механіки, просторова частина цього тензора дорівнює:

${\displaystyle (37)\qquad T_{ij}=\rho v_{i}v_{j}+\sigma _{ij}}$

Із цієї прив'язки і локального закону збереження енергії-імпульсу слідує, що «поверхневий» інтеграл в лівій частині (27) дорівнює нулю. Оскільки паралелепіпед ${\displaystyle P}$ може бути розміщений в будь-якій точці простору-часу і може бути нескінченно малим, з рівності нулю правої частини (27) слідує, що скрізь дивергенція тензора енергії-імпульсу дорівнює нулю:

${\displaystyle (38)\qquad \nabla ^{j}T_{ij}=0}$

Із виразу для компонент тензора енергії-імпульсу ми бачимо, що цей тензор вийшов симетричним. І це не випадково. Розглянемо наступний антисиметричний тензор другого рангу в плоскому просторі Мінковського (або в настільки малій області викривленого простору, щоб кривину можна було не враховувати):

${\displaystyle (39)\qquad \Delta M_{ij}=x_{i}\Delta p_{j}-x_{j}\Delta p_{i}=\int _{V}(x_{i}T_{j0}-x_{j}T_{i0})dV^{0}}$

Просторові компоненти цього тензора, очевидно, дорівнюють проєкціям класичного вектора моменту імпульсу:

${\displaystyle (40)\qquad \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

Покажемо, що якщо інтеграл в праві частині (39) поширити на всю «поверхню» чотиривимірного паралелепіпеда, то в результаті одержимо нуль. Дійсно, поверхневий інтеграл перетворюється в інтеграл від дивергенції:

${\displaystyle (41)\qquad \int _{\partial P}\left(x_{i}T_{jk}-x_{j}T_{ik}\right)dV^{k}=\int _{P}\nabla ^{k}\left(x_{i}T_{jk}-x_{j}T_{ik}\right)d\tau }$

а дивергенція перетворюється в нуль внаслідок (38) і симетрії тензора енергії-імпульсу:

${\displaystyle (42)\qquad \nabla ^{k}\left(x_{i}T_{jk}-x_{j}T_{ik}\right)=\delta _{i}^{k}T_{jk}+x_{i}\nabla ^{k}T_{jk}-\delta _{j}^{k}T_{ik}-\nabla ^{k}T_{ik}=\delta _{i}^{k}T_{jk}-\delta _{j}^{k}T_{ik}=T_{ji}-T_{ij}=0}$

Рівність нулю «поверхневого» інтеграла в лівій частині (41) можна, аналогічно до того, як це було з локальним законом збереження енергії-імпульсу, трактувати так: зміна моменту імпульсу в якійсь області простору можлива лише внаслідок протікання моменту імпульсу через межу цієї області.

• Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1967). Теория поля. Теоретическая физика, т.2. Москва: Госиздат., 460 с.