Кубічні сплайни Ерміта

f(t)	f(0)	f(1)	f'(0)	f'(1)
${\displaystyle \ h_{00}(t)}$	1	0	0	0
${\displaystyle \ h_{01}(t)}$	0	1	0	0
${\displaystyle \ h_{10}(t)}$	0	0	1	0
${\displaystyle \ h_{11}(t)}$	0	0	0	1
${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$	${\displaystyle \mathbf {p_{0}} }$	${\displaystyle \mathbf {p_{1}} }$	${\displaystyle \mathbf {m_{0}} }$	${\displaystyle \mathbf {m_{1}} }$

Задано початкову точку ${\displaystyle p_{0}}$ з початковим вектором ${\displaystyle m_{0}}$ при ${\displaystyle t=0}$ та кінцеву точку ${\displaystyle p_{1}}$ з кінцевим вектором ${\displaystyle m_{1}}$ при ${\displaystyle t=1}$ .

Для кубічного полінома та його похідної

${\displaystyle \mathbf {p} (t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {p} \prime (t)=a_{1}+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}}$

виразимо коефіцієнти ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$ через ${\displaystyle \mathbf {p} (0),\mathbf {p} (1),\mathbf {p} \prime (0),\mathbf {p} \prime (1)}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {p} (0)=a_{0}\\\mathbf {p} (1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}\\\mathbf {p} \prime (0)=a_{1}\\\mathbf {p} \prime (1)=a_{1}+2a_{2}+3a_{3}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}a_{0}=\mathbf {p} (0)\\a_{1}=\mathbf {p} \prime (0)\\a_{2}=3(\mathbf {p} (1)-\mathbf {p} (0))-2\mathbf {p} \prime (0)-\mathbf {p} \prime (1)\\a_{3}=\mathbf {p} \prime (0)+\mathbf {p} \prime (1)-2(\mathbf {p} (1)-\mathbf {p} (0))\end{cases}}}$

Підставивши значення полінома та його похідної із таблиці справа, отримаємо чотири базові ермітові поліноми:

${\displaystyle {\begin{matrix}h_{00}(t)&=&2t^{3}-3t^{2}+1&=&(1-t)^{2}(1+2t)\\h_{01}(t)&=&-2t^{3}+3t^{2}&=&t^{2}(3-2t)\\h_{10}(t)&=&t^{3}-2t^{2}+t&=&t(1-t)^{2}\\h_{11}(t)&=&t^{3}-t^{2}&=&t^{2}(t-1)\\\end{matrix}}}$

Тоді інтерполяційний поліном визначається як лінійна комбінація чотирьох базових:

${\displaystyle \mathbf {p} (t)=h_{00}(t)\mathbf {p_{0}} +h_{10}(t)\mathbf {m_{0}} +h_{01}(t)\mathbf {p_{1}} +h_{11}(t)\mathbf {m_{1}} ,\qquad t\in [0,1]}$

Існують такі властивості симетрії:

${\displaystyle \ h_{00}(t)+h_{01}(t)=1}$ — симетрія відносно осі y=1/2,

${\displaystyle \ h_{00}(t)=h_{01}(1-t)}$ — симетрія відносно осі x=1/2,

${\displaystyle \ h_{10}(t)=-h_{11}(1-t)}$ — симетрія відносно точки (0, 1/2).

Інтерполяція на цьому інтервалі задається формулою

${\displaystyle \mathbf {p} (x)=h_{00}(t)\mathbf {p_{0}} +h_{10}(t)h\mathbf {m_{0}} +h_{01}(t)\mathbf {p_{1}} +h_{11}(t)h\mathbf {m_{1}} ,\qquad h=x_{k+1}-x_{k},\qquad t=(x-x_{k})/h.}$

Чотири базові ермітові поліноми легко виразити через поліноми Бернштейна, що є базисними для кривих Без'є

${\displaystyle {\begin{matrix}h_{00}(t)&=&(1-t)^{2}(1+2t)&=&(1-t)^{3}+3t(1-t)^{2}&=&\mathbf {b} _{0,3}(t)+\mathbf {b} _{1,3}(t)\\h_{01}(t)&=&t^{2}(3-2t)&=&t^{3}+3t^{2}(1-t)&=&\mathbf {b} _{3,3}(t)+\mathbf {b} _{2,3}(t)\\h_{10}(t)&=&t(1-t)^{2}&=&&&\mathbf {b} _{1,3}(t)/3\\h_{11}(t)&=&t^{2}(t-1)&=&&&-\mathbf {b} _{2,3}(t)/3\\\end{matrix}}}$

Тому кубічний сплайн Ерміта з параметрами

${\displaystyle \mathbf {\left(p_{0},p_{1},m_{0},m_{1}\right)} }$

аналогічний кубічній кривій Без'є з опорними вершинами

${\displaystyle \mathbf {\left(p_{0},p_{1},p_{0}+{\frac {m_{0}}{3}},p_{1}-{\frac {m_{1}}{3}}\right)} .}$

Інтерполяції набору точок ${\displaystyle (x_{k},{\boldsymbol {p}}_{k})}$ для ${\displaystyle \ k=1,\ldots ,n}$ , здійснюється для кожного інтервалу, і параметри для однієї точки в різних інтервалах вибираються однаковими. Інтерполяційний сплайн отримується неперервно-диференційовним на ${\displaystyle \ (x_{1},x_{n}).}$

Існують декілька способів задання параметрів.

Найпростіший спосіб із застосуванням трьох контрольних точок:

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{2(x_{k+1}-x_{k})}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2(x_{k}-x_{k-1})}}}$

для індексів ${\displaystyle k=2,\ldots ,n-1}$ , і односторонні різниці на кінцях.

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}}$

Параметр ${\displaystyle c\in (0,1)}$ .

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}}$