Загальна топологія

Загальна топологія, або теоретико-множинна топологія — розділ топології, в якому вводяться основні визначення, ідеї та методи, загальні для всіх топологічних дисциплін (диференціальної геометрії, топології шарів, теорії розмірності та інші).

Загальна топологія зародилася в кінці XIX століття й оформилася у самостійну математичну науку на початку XX століття.Основні роботи належать Ф. Гаусдорфа, А. Пуанкаре, П. С. Александрову, П. С. Урисона, Л. Брауера.

Найбурхливіший розвиток загальної топології як самостійної гілки знання відбувався у середині XX століття, на початку ж XXI століття вона швидше є допоміжною дисципліною і «обслуговує» своїм понятійним апаратом багато галузей математики: топологію, функціональний аналіз, комплексний аналіз, теорію графів та інші.

Базові поняття теорії множин (множина, функція, ординальні і кардинальні числа, аксіома вибору, лема Цорна та інші) не є предметом загальної топології, але активно нею використовуються. Загальна топологія поділяється на такі розділи: властивості топологічних просторів і їх відображень, операції над топологічними просторами і їх відображеннями, класифікація топологічних просторів.

Галузь вивчення

Традиційний підхід до загальної топології — теоретико-множинний. Множина називається топологічним простором, коли задано певний сімейство його відкритих підмножин, що задовольняє аксіомам.Можливо багато способів завдання структури топологічного простору на одноій множині: від дискретного до нехаусдорфової «антидискретної(тривіальної) топології», що склеює всі точки разом.

На відміну від диференціальної і алгебраїчної топології, загальна топологія зосереджена на вивченні найзагальнішого виду безперервних відображень (топологічних просторів один в одного, а не в простору, що наділені складнішими структурами, наприклад алгебраїчними).Мова загальної топології включає такі поняття як окіл, замикання множин (а також внутрішність), компактність множин, збіжність послідовностей і фільтрів.

Див. також

Зауваження

Поняття границі функції, що вводиться в математиці, допускає подальше узагальнення в рамках теорії псевдотопологічних просторів.

Див. також

Список термінів загальної топології

Навчальні матеріали

(укр.) Курс лекцій Загальна топологія з самого початку на YouTube, С. Максименко (Інститут математики НАН України).

Література

Bourbaki; Topologie Générale (General Topology); ISBN 0-387-19374-X
John L. Kelley; General Topology; ISBN 0-387-90125-6
James Munkres; Topology; ISBN 0-13-181629-2
Ryszard Engelking; General Topology; ISBN 3-88538-006-4 (Рос.: Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.)
Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover Publications reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446 {{citation}}: Вказано більш, ніж один |first1= та |first= (довідка); Вказано більш, ніж один |last1=, |author= та |last= (довідка)
O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev; Elementary Topology: Textbook in Problems [Архівовано 29 червня 2011 у Wayback Machine.]; ISBN 978-0-8218-4506-6

arXiv код предмету math.GN [Архівовано 13 грудня 2010 у Wayback Machine.].

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.