ไซคลอยด์

ไซคลอยด์ที่ลากผ่านจุดกำเนิด ซึ่งสร้างขึ้นโดยรูปวงกลมรัศมี r ที่กลิ้งบนแกน x มีสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

${\displaystyle x=r(t-\sin t)\,}$

${\displaystyle y=r(1-\cos t)\,}$

เมื่อ t เป็นจำนวนจริง คือมุมในหน่วยเรเดียนที่รูปวงกลมกลิ้งไป (บางครั้งอาจใช้ θ แทน t)

เส้นโค้งชนิดนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกตำแหน่งยกเว้น บัพแหลม (cusp) คือจุดที่สัมผัสกับแกน x ซึ่งอนุพันธ์จะกลายเป็น ∞ หรือ −∞ เมื่อเข้าใกล้จุดบัพแหลม ซึ่งตรงตามสมการเชิงอนุพันธ์สามัญดังนี้

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}}$

เนื่องจากไซคลอยด์หนึ่งรอบ ที่สร้างโดยรูปวงกลมรัศมี r จากสมการอิงตัวแปรเสริมด้านบน จะได้ค่าของตัวแปรเสริม t ที่มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]

และเนื่องจาก

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)}$

เราสามารถคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟของไซคลอยด์หนึ่งรอบโดยการหาปริพันธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\int _{t=0}^{t=2\pi }y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}\,dt\\&=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{2}}\cos t\sin t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }\\&=3\pi r^{2}\end{aligned}}}$

นั่นคือเท่ากับสามเท่าของพื้นที่ของรูปวงกลม

ความยาวของเส้นโค้งไซคลอยด์หนึ่งรอบ สามารถหาได้จากความยาวของส่วนย่อยๆ บนเส้นโค้ง ซึ่ง t มีค่าในช่วง [0, 2π]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{t=0}^{t=2\pi }\left(\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right)^{1/2}\,dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }2r\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\,dt\\&=8r\end{aligned}}}$

นั่นคือเท่ากับแปดเท่าของรัศมีของรูปวงกลม

• เอพิไซคลอยด์ (epicycloid)
• ไฮโพไซคลอยด์ (hypocycloid)
• โทรคอยด์ (trochoid)
• เอพิโทรคอยด์ (epitrochoid)
• ไฮโพโทรคอยด์ (hypotrochoid)

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Cycloid" จากแมทเวิลด์.
• Cycloids ที่ cut-the-knot