Brocards problem

Brocards problem går ut på att hitta naturliga tal n och m sådana att

n!+1=m²,

det vill säga att n-fakultet är ett mindre än en heltalskvadrat.Problemet formulerades av Henri Brocard i två artiklar från 1876 och 1885, och av Srinivasa Ramanujan 1913 (oberoende av Brocard).

Brown-tal

Talpar (n,m) som löser Brocards problem kallas Brown-tal (efter Kevin S. Brown)^[1].Det finns endast tre kända par av Brown-tal:

(4,5), (5,11) och (7,71).

Paul Erdős förmodade att det inte finns fler lösningar.Datorberäkningar har visat att det inte finns fler lösningar för n upp till en miljard (Berndt och Galway, 2000).

Varianter av problemet

Dabrowski har bevisat att om abc-förmodan är sann, har ekvationen

n!+A=m²

endast ändligt många lösningar för ett givet heltal A – speciellt att det endast finns ändligt många par av Brown-tal.

Noter

^ Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley, 1995, sid. 170.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wiki How, Brocard's problem, 22 februari 2009.

Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), ”The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²”, The Ramanujan Journal 4: 41–42, http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf .

Brocard, H. (1876), ”Question 166”, Nouv. Corres. Math. 2: 287 .

Brocard, H. (1885), ”Question 1532”, Nouv. Ann. Math. 4: 391 .

Dabrowski, A. (1996), ”On the Diophantine Equation x! + A = y²”, Nieuw Arch. Wisk. 14: 321–324 .

Guy, R. K. (1994), ”D25: Equations Involving Factorial”, Unsolved Problems in Number Theory (2nd), New York: Springer-Verlag, s. 193–194 .

Externa länkar

Brocard's Problem från MathWorld.
Brown Numbers från MathWorld.

[1] Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley, 1995, sid. 170.

[1]