Infinitezimalni račun

Infinitezimalni račun je grana matematike koja se bavi funkcijama, izvodima, integralima, limesima i beskonačnim nizovima. Proučava razumevanje i opisivanje promena merljivih varijabli. Središnji koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Dve glavne grane su diferencijalni račun i integralni račun. Infinitezimalni račun je osnova matematičke analize.^[1]^[2] Koristi se u nauci, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za rešavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu rešiti algebrom ili geometrijom. Infinitezimalni račun se na latinskom jeziku kaže „calculus infinitesimalis" i iz toga je proizašao naziv „kalkulus", koji se koristi u jednom delu sveta. Reč „infinitesimalis" znači "beskrajno mala veličina".

Infinitezimalni račun su nezavisno razvili krajem 17. veka Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic.^[3]^[4] Kasniji rad, uključujući kodifikaciju ideje o granicama, stavio je ovaj razvoj na čvršće konceptualne osnove. Danas, račun ima široku upotrebu u nauci, inženjerstvu i društvenim naukama.^[5]

Istorija

U antičkom razdoblju bilo je ideja sličnih infinitezimalnom računu. Egipćani su računali zapreminu zarubljene piramide. Grci Eudoks i Arhimed koristili su metodu iscrpljivanja kojom se površina nekog oblika izračunava tako što se u njega ubacuje niz mnogouglova čije površine konvergiraju prema površini celog oblika. Tu metodu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. veku, da bi izračunao površinu kruga. U 5. veku Ču Čungdži koristio je metodu koja će kasnije biti nazvana Kavalijerijev princip za zapreminu lopte.

Godine 499. indijski matematičar Ariabhata I. je računao infinitezimalanim računom i zapisao astronomski problem u obliku diferencijalne jednačine. Na osnovu te jednačine je u 12. veku Bhaskara razvio neku vrstu izvoda. Oko 1000. godine Ibn al-Haitam je osmislio formulu za sve vrste četvrtih stepena i time pripremio put za integralni račun. U 12. veku persijski matematičar Šaraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za odvajanje kubnog polinoma. U 17. veku japanski matematičar Šinsuke Seki Kova došao je do osnovnih spoznaja infinitezimalnog računa.

Infinitezimalni račun otkrili su nezavisno jedan od drugog u otprilike isto vreme Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic. Oni su otkrili zakone diferencijalnog i integralnog računa, izvoda (derivacije) i aproksimacija polinomnih nizova. Njihov rad nastavili su matematičari Ogisten Luj Koši, Bernhard Riman, Karl Vajerštras, Henri Lion Lebesk i dr.

Drevni prethodnici

Egipat

Proračun zapremine i površine, jedan od ciljeva integralnog računa, može se naći u egipatskom moskovskom papirusu (oko 1820 pne), ali formule su jednostavna uputstva, bez naznaka kako su dobijene.^[6]^[7]

Glavna poglavlja

Izvod

Izvod (derivacija) funkcije $f$ je granična vrednost koeficijenta porasta funkcije i prirasta argumenta kada prirast argumenta teži nuli.

Integral

Za datu funkciju f(x) realne promenljive x i interval [a,b] na pravcu realnih brojeva, integral

\int _{a}^{b}f(x)dx

predstavlja površinu područja u ravni xy ograničenog grafom od f, x-osom i vertikalnim crtama x=a i x=b.

Limes

Poglavlje limesa funkcije razvilo se iz problema kako izračunati vrednost funkcije u slučajevima kada funkcija nije dobro definisana, npr. deljenje nulom. Limes funkcije f u tački a je broj kome se pridružuje funkcijska vrednost f(x), kada vrednost x teži a.

$\lim _{x\to a}f(x)$

npr.

$\lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}\ =1$

Svojstva limesa

{\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}

Pogledajte još

Lajbnic-Njutn računska kontroverza

Reference

Literatura

McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers. University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5.
Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals. 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
Robert A. Adams. 1999. ISBN 978-0-201-39607-2.. Calculus: A complete course.
John Lane Bell (1998). A Primer of Infinitesimal Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62401-5. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
Thomas/Finney. 1996. ISBN 978-0-201-53174-9.. Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
Crowell, B. (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus", Приступљено 6. 5. 2007. from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)
Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology., Приступљено 6. 5. 2007. from https://web.archive.org/web/20070614183657/http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
Sloughter, Dan (2000). "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus"., Приступљено 17. 3. 2009. from http://synechism.org/drupal/de2de/
Stroyan, K.D. (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa., Приступљено 6. 5. 2007. from https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)
Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology., Приступљено 6. 5. 2007. from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
Smith, William V. (2001). "The Calculus", Приступљено 4. 7. 2008. [1] Архивирано на сајту Wayback Machine (30. октобар 2017) (HTML only).}-
Albers, Donald J.; Anderson, Richard D.; Loftsgaarden, Don O., ур. (1986). Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985–1986 Survey. Mathematical Association of America.
Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2002). Calculus. John Wiley and Sons Pte. Ltd. ISBN 978-81-265-1259-1.
Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
Apostol, Tom M. (1969). Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5.
Boelkins, M. (2012). Active Calculus: a free, open text (PDF). Архивирано из оригинала 30. 5. 2013. г. Приступљено 1. 2. 2013.
Boyer, Carl Benjamin (1959) [1949]. The History of the Calculus and its Conceptual Development (Dover изд.). Hafner. ISBN 0-486-60509-4.
Cajori, Florian (септембар 1923). „The History of Notations of the Calculus”. Annals of Mathematics. 2nd Series. 25 (1): 1—46. JSTOR 1967725. doi:10.2307/1967725. hdl:2027/mdp.39015017345896  .
Courant, Richard (3. 12. 1998). Introduction to calculus and analysis 1. ISBN 978-3-540-65058-4.
Gonick, Larry (2012). The Cartoon Guide to Calculus. William Morrow. ISBN 978-0-061-68909-3. OCLC 932781617.
Keisler, H.J. (2000). Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Retrieved 29 August 2010 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Архивирано 1 мај 2011 на сајту Wayback Machine
Landau, Edmund (2001). Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2830-4.
Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J. (2004). „The Tools of Calculus”. Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics. Princeton University Press. Bibcode:2004apmj.book.....L.
Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus (9th изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2.
Pickover, Cliff (2003). Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind. ISBN 978-0-471-26987-8.
Salas, Saturnino L.; Hille, Einar; Etgen, Garret J. (2007). Calculus: One and Several Variables (10th изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-69804-3.
Spivak, Michael (септембар 1994). Calculus. Publish or Perish publishing. ISBN 978-0-914098-89-8.
Steen, Lynn Arthur, ур. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-058-3.
Thomas, George Brinton; Finney, Ross L.; Weir, Maurice D. (1996). Calculus and Analytic Geometry, Part 1. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-53174-9.
Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel; Giordano, Frank R. (2008). Calculus (11th изд.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-48987-6.
Thompson, Silvanus P.; Gardner, Martin (1998). Calculus Made Easy. ISBN 978-0-312-18548-0.

Spoljašnje veze

Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Calculus”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Weisstein, Eric W. „Calculus”. MathWorld.
Topics on Calculus at PlanetMath.org.
Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
Calculus on In Our Time at the BBC. (listen now)
Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis – contains resources and links to other sites
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
The Role of Calculus in College Mathematics Архивирано на сајту Wayback Machine (26. јул 2021) from ERICDigests.org
OpenCourseWare Calculus from the Massachusetts Institute of Technology
Infinitesimal Calculus – an article on its historical development, in Encyclopedia of Mathematics, ed. Michiel Hazewinkel.
Daniel Kleitman, MIT. „Calculus for Beginners and Artists”.
Calculus training materials at imomath.com
The Excursion of Calculus, 1772

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]