Trojčlenka

Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky?Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy.Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$ konzervy.Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia ${\displaystyle {\frac {3.4}{2}}}$ konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

Trojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina ${\displaystyle b}$ závisí od veličiny ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle a\neq 0}$ podľa vzorca, kde ${\displaystyle b={\frac {c}{a}}}$ je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ sú nepriamo úmerné. Ich súčin ${\displaystyle a.b}$ je konštantný. Ak sa veličina ${\displaystyle a}$ zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina ${\displaystyle b}$ .

3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov?Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny).Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje ${\displaystyle 3.2}$ h.Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje ${\displaystyle {\frac {3.2}{6}}}$ .Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ a ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ . V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$ a ${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})}$ . Hľadanou hodnotou je vždy ${\displaystyle c_{2}}$ .

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:

1. ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ vzťah medzi hodnotami oboch veličín

2. ${\displaystyle (1,\approx )}$ výsledok pre jednotku

3. ${\displaystyle (a_{2},\approx )}$ dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

1. ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$ vzťah medzi hodnotami troch veličín

2. ${\displaystyle (1,b_{1},\approx )}$ výsledok pre jednotku odpovedajúcej ${\displaystyle a_{1}}$

3. ${\displaystyle (1,1,\approx )}$ výsledok pre jednotku odpovedajúcej ${\displaystyle b_{1}}$

4. ${\displaystyle (1,b_{2},\approx )}$ dopočítanie druhej dvojice z ${\displaystyle b_{2}}$

5. ${\displaystyle (a_{2},b_{2},\approx )}$ dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame ${\displaystyle c_{1}}$ , prípadne ${\displaystyle c_{2}}$ , čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom ${\displaystyle \approx )}$ . Rozdiel spočíva v tom, že páry ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ a ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ , ${\displaystyle (a_{1},c_{1})}$ a ${\displaystyle (a_{2},x)}$ , ${\displaystyle (b_{1},c_{1})}$ a ${\displaystyle (b_{2},x)}$ sú priamo čí nepriamo úmerné.

5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?

Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí

Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, ${\displaystyle {\frac {30}{5}}}$ žemle

Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, ${\displaystyle {\frac {30}{5.3}}}$ žemle

Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, ${\displaystyle {\frac {30.2}{5.3}}}$ žemle

Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky, ${\displaystyle {\frac {30.2.8}{5.3}}=32}$ žemlí

Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?

Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín

Krok 2: 1 kniha, 5 strojov, ${\displaystyle {\frac {20}{10000}}}$ hodín

Krok 3: 1 kniha, 1 stroj, ${\displaystyle {\frac {20.5}{10000}}}$ hodín

Krok 4: 1 kniha, 2 stroje, ${\displaystyle {\frac {20.5}{10000.2}}}$ hodín

Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje, ${\displaystyle {\frac {20.5.8000}{10000.2}}=40}$ hodín

Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?

Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov, ${\displaystyle 8}$ hodín

Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov, ${\displaystyle 8.3}$ hodín

Krok 3: 1 osoba, 1 riadok, ${\displaystyle {\frac {8.3}{48}}}$ hodiny

Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov, ${\displaystyle {\frac {8.3.20}{48}}}$ hodiny

Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov, ${\displaystyle {\frac {8.3.20}{48.5}}=2}$ hodiny

Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

Krok 1: 3 robotníci, 8 h, ${\displaystyle 3}$ dni

Krok 2: 1 robotník, 8 h, ${\displaystyle 3.3}$ dni

Krok 3: 1 robotník, 1 h, ${\displaystyle 3.3.8}$ dni

Krok 4: 1 robotník, 2 h, ${\displaystyle {\frac {3.3.8}{2}}}$ dni

Krok 5: 9 robotníkov, 2 h, ${\displaystyle {\frac {3.3.8}{2.9}}=4}$ dni

Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné.V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

• K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: Kompendium matematiky Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

• Kvadratický odhad
• Násobenie