L-функция

Мы будем различать L-ряды, то есть представления через ряды (например, ряд Дирихле для дзета-функции Римана), и L-функции, то есть аналитические продолжения функции на всей комплексной плоскости. Общее построение начинается с L-рядов, сначала определяемых как ряд Дирихле, и их разложения в эйлерово произведение с индексом, пробегающим простые числа. Рассмотрение требует доказательства сходимости ряда в некоторой правой полуплоскости поля комплексных чисел. Потом спрашивается, может ли определяемая функция быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость (возможно, с появлением нескольких полюсов).

Гипотетическое мероморфное продолжение на комплексную плоскость называется L-функцией. Уже в классических случаях известно, что полезная информация содержится в значениях и в поведении L-функции в её нулях и полюсах. Обобщающий термин «L-функция» используемый здесь включает в себя много известных типов дзета-функций. Класс Сельберга — это попытка описать ключевые свойства L-функций с помощью набора аксиом и, таким образом, начать изучать свойства класса в целом, а не функции по-отдельности.

Можно перечислить характеристики L-функций, которые представляют интерес, если обобщить то это:

• Расположение нулей и полюсов;
• Функциональное уравнение, с учётом некоторых вертикальных прямых ${\displaystyle \operatorname {Re} s=\operatorname {const} }$ ;
• Интересные значения в целых числах, связанные с параметрами алгебраической K-теории

Тщательная работа породила большой объём правдоподобных гипотез, например, гипотезу о точном типе функционального уравнения, которое должно выполняться для L-функций. Так как дзета-функция Римана связана (через свои значения в положительных четных и отрицательных нечетных числах) с числами Бернулли, то идет работа по обобщению этого явления. Уже были получены результаты для p-адических L-функций, которые описывают определенный модуль Галуа.

Статистика распределения нулей представляет интерес из-за их связи с такими проблемами, как обобщенная гипотеза Римана, распределение простых чисел и т. д. Связи с теорией случайных матриц и квантовым хаосом также представляют интерес. Фрактальная структура распределений изучалась при помощи такого метода как "анализ масштабированного диапазона"^[2]. Самоподобие распределения нулей характеризуется большим значением фрактальной размерности 1,9. Эта достаточно большая фрактальная размерность найдена среди нулей дзета-функции Римана и покрывает как минимум пятнадцать порядков, а также для нулей других L-функций разных порядков и кондукторов.

Одним из важных примеров, как для истории более общих L-функций, так и как ещё пока открытой исследовательской проблемы, является гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера. Гипотеза говорит, как можно вычислить ранг эллиптической кривой над полем рациональных чисел (или другим глобальным полем), то есть число свободных образующих его группы рациональных точек. Многие предыдущие работы в этой области стали объединяться вокруг лучшего знания L-функций. Это было похоже на пример парадигмы зарождающейся теории L-функций.

Это развитие предшествовало программе Ленглендса на несколько лет и может рассматриваться как дополняющее его: работа Ленглендса в основном связана с L-функциями Артина, и с L-функциям, присоединенным к общему автоморфному представлению.

Постепенно стало понятнее, в каком смысле конструкция дзета-функцию Хассе-Вейля может сделать рабочим обеспечение допустимых L -функций - в аналитическом смысле: должен быть некоторый вклад от анализа, что означало «автоморфный» анализ. Общий случай теперь объединяет на концептуальном уровне ряд различных исследовательских программ.

• Обобщённые гипотезы Римана
• Автоморфная L-функция
• Теорема о модулярности
• Гипотеза Артина