Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция f {\displaystyle f} над полем действительных или комплексных чисел , которая может быть формально представлена в следующем виде:
f ( x ) = ∫ c x R ( t , P ( t ) ) d t {\displaystyle f(x)=\int \limits _{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt} ,где R {\displaystyle R} — рациональная функция двух аргументов, P {\displaystyle P} — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней , c {\displaystyle c} — некоторая константа из поля, где определена функция.
В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях . Исключением являются случаи, когда P {\displaystyle P} имеет кратные корни или когда многочлены в R ( x , y ) {\displaystyle R(x,\;y)} не содержат нечётных степеней y {\displaystyle y} .
Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов , называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).
Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:
α {\displaystyle \alpha } — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой o ε {\displaystyle o\!\varepsilon } ); k = sin α {\displaystyle k=\sin \alpha } — модуль эллиптического интеграла ; m = k 2 = sin 2 α {\displaystyle m=k^{2}=\sin ^{2}\alpha } — параметр .Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля k {\displaystyle k} (и модулярного угла α {\displaystyle \alpha } ). Их область определения − 1 ≤ k ≤ + 1. {\displaystyle -1\leq k\leq +1.}
Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).
Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.
Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:
x = sin φ = sn u , {\displaystyle x=\sin \varphi =\operatorname {sn} u,} где sn {\displaystyle \operatorname {sn} } — эллиптическая функция Якоби ; φ = arcsin x = am u {\displaystyle \varphi =\arcsin x=\operatorname {am} u} — амплитуда ;Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что u {\displaystyle u} зависит также и от m {\displaystyle m} . Несколько дополнительных уравнений связывают u {\displaystyle u} с другими параметрами:
cos φ = cn u {\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u} и
1 − m sin 2 φ = dn u . {\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.} Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как
Δ ( φ ) = dn u . {\displaystyle \Delta (\varphi )=\operatorname {dn} u.} Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр , дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол . Их вводят следующим способом:
m 1 = 1 − m {\displaystyle m_{1}\,=\,1-m} — дополнительный параметр ; k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} — дополнительный модуль ; k ′ 2 = m 1 {\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}} — дополнительный модулярный угол . Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный) править
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода F {\displaystyle F} определяется как
F ( φ , k ) = ∫ 0 φ d θ 1 − k 2 sin 2 θ {\displaystyle F(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}} ,или, в форме Якоби,
F ( x , k ) = ∫ 0 x d z ( 1 − z 2 ) ( 1 − k 2 z 2 ) {\displaystyle F(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}} .Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта , за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение
F ( φ , sin α ) = F ( φ ∣ sin 2 α ) = F ( φ ∖ α ) {\displaystyle F(\varphi ,\;\sin \alpha )=F(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )} . F ( φ ∖ 0 ) = φ {\displaystyle F(\varphi \setminus 0)=\varphi } ; F ( i φ ∖ 0 ) = i φ {\displaystyle F(i\varphi \setminus 0)=i\varphi } ; F ( φ ∖ 90 ∘ ) = ln ( sec φ + tg φ ) = ln tg ( π 4 + φ 2 ) {\displaystyle F(\varphi \setminus 90^{\circ })=\ln \left(\operatorname {sec} \varphi +\operatorname {tg} \varphi \right)=\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)} ; F ( i φ ∖ 90 ∘ ) = i arctg ( sh φ ) {\displaystyle F(i\varphi \setminus 90^{\circ })=i\,\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} \varphi \right)} ;
Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный) править Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как
E ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 − k 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle E(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta } или, используя подстановку x = sin φ , {\displaystyle x=\sin \varphi ,}
E ( x , k ) = ∫ 0 x 1 − k 2 z 2 1 − z 2 d z . {\displaystyle E(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {\sqrt {1-k^{2}z^{2}}}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz.} E ( φ , 0 ) = φ {\displaystyle E(\varphi ,0)=\varphi } ; E ( i φ , 0 ) = i φ {\displaystyle E(i\varphi ,0)=i\varphi } ; E ( φ , 1 ) = sin φ {\displaystyle E(\varphi ,1)=\sin \varphi } ; E ( i φ , 1 ) = i sh φ {\displaystyle E(i\varphi ,1)=i\,\operatorname {sh} \varphi } .
Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный) править Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода Π {\displaystyle \Pi } определяется как
Π ( c ; φ , k ) = ∫ 0 φ d θ ( 1 + c sin 2 θ ) 1 − k 2 sin 2 θ {\displaystyle \Pi (c;\;\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{(1+c\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}} или
Π ( c ; x , k ) = ∫ 0 x d x ( 1 + c x 2 ) ( 1 − k 2 x 2 ) ( 1 − x 2 ) {\displaystyle \Pi (c;\;x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}} Число c {\displaystyle c} называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла Π ( − 1 ; π / 2 ∣ m ) {\displaystyle \Pi (-1;\;\pi /2\mid m)} стремится к бесконечности для любых m {\displaystyle m} .
Введём дополнительные обозначения:
ε = arcsin n sin 2 α , 0 ⩽ ε ⩽ π 2 {\displaystyle \varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {n}{\sin ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi }{2}}} ; β = π F ( ε ∖ α ) 2 K ( α ) {\displaystyle \beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}}} ; q = q ( α ) {\displaystyle q=q(\alpha )} ; ν = π F ( φ ∖ α ) 2 K ( α ) {\displaystyle \nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}}} ; δ 1 = c ( 1 − c ) ( sin 2 α − c ) {\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -c)}}}} ; K ( α ) {\displaystyle K(\alpha )} — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода .Тогда можно записать интеграл через тета-функции Якоби:
Π ( c ; φ ∖ α ) = δ 1 ( − 1 2 ln ϑ 4 ( ν + β ) ϑ 4 ( ν − β ) + ν ϑ 1 ′ ( β ) ϑ 1 ( β ) ) , {\displaystyle \Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{1}\left(-{\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}+\nu \,{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}\right),} где
1 2 ln ϑ 4 ( ν + β ) ϑ 4 ( ν − β ) = 2 ∑ s = 1 ∞ q s s ( 1 − q 2 s ) sin 2 s ν sin 2 s β {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}=2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{s}}{s(1-q^{2s})}}\sin {2s\nu }\,\sin \,{2s\beta }} и
ϑ 1 ′ ( β ) ϑ 1 ( β ) = ctg β + 4 ∑ s = 1 ∞ q 2 s 1 − 2 q 2 s cos 2 β + q 4 s sin 2 β . {\displaystyle {\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}=\operatorname {ctg} \,\beta +4\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{2s}}{1-2q^{2s}\cos {2\beta }+q^{4s}}}\sin {2\beta }.} С помощью подстановки C = sin 2 α c {\displaystyle C={\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}} этот случай сводится к предыдущему, так как 0 < C < sin 2 α . {\displaystyle 0<C<\sin ^{2}\alpha .}
Введём дополнительно величину
p 1 = ( c − 1 ) ( 1 − sin 2 α c ) . {\displaystyle p_{1}={\sqrt {(c-1)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}\right)}}.} Тогда:
Π ( c ; φ ∖ α ) = − Π ( C ; φ ∖ α ) + F ( φ ∖ α ) + 1 2 p 1 ln ( Δ ( φ ) + p 1 tg φ Δ ( φ ) − p 1 tg φ ) . {\displaystyle \Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=-\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )+F(\varphi \setminus \alpha )+{\frac {1}{2p_{1}}}\ln \left({\frac {\Delta (\varphi )+p_{1}\operatorname {tg} \,\varphi }{\Delta (\varphi )-p_{1}\operatorname {tg} \,\varphi }}\right).} Введем дополнительные обозначения:
ε = arcsin 1 − n cos 2 α , 0 ⩽ ε ⩽ π 2 ; {\displaystyle \varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {1-n}{\cos ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi }{2}};} β = π F ( ε ∖ 90 ∘ − α ) 2 K ( α ) ; {\displaystyle \beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{2\,K(\alpha )}};} q = q ( α ) ; {\displaystyle q=q(\alpha );} ν = π F ( φ ∖ α ) 2 K ( α ) ; {\displaystyle \nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}};} δ 2 = c ( 1 − c ) ( c − sin 2 α ) . {\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(c-\sin ^{2}\alpha )}}}.} Тогда эллиптический интеграл равен:
Π ( c ; φ ∖ α ) = δ 2 ( λ − 4 μ ν ) , {\displaystyle \Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{2}(\lambda -4\mu \nu ),} где
λ = arctg ( th β tg ν ) + 2 ∑ s = 1 ∞ ( − 1 ) s − 1 s q 2 s 1 − q 2 s sin 2 s ν sh 2 s β {\displaystyle \lambda =\operatorname {arctg} \,(\operatorname {th} \,\beta \,\operatorname {tg} \,\nu )+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{s-1}}{s}}{\frac {q^{2s}}{1-q^{2s}}}\sin {2s\nu }\,\operatorname {sh} \,{2s\beta }} и
μ = ∑ s = 1 ∞ s q s 2 sh 2 s β 1 + ∑ s = 1 ∞ q s 2 ch 2 s β {\displaystyle \mu ={\dfrac {\sum \limits _{s=1}^{\infty }sq^{s^{2}}\,\operatorname {sh} \,{2s\beta }}{1+\sum \limits _{s=1}^{\infty }q^{s^{2}}\,\operatorname {ch} \,{2s\beta }}}} С помощью подстановки C = sin 2 α − c 1 − c {\displaystyle C={\frac {\sin ^{2}\alpha -c}{1-c}}} этот случай сводится к предыдущему, так как sin 2 α < C < 1. {\displaystyle \sin ^{2}\alpha \ <C<1.}
Введем дополнительно величину
p 2 = − c ( sin 2 α − c ) 1 − c . {\displaystyle p_{2}={\sqrt {\frac {-c\,(\sin ^{2}\alpha -c)}{1-c}}}.} Тогда:
( 1 − c ) ( 1 − sin 2 α c ) Π ( c ; φ ∖ α ) = ( 1 − C ) ( 1 − sin 2 α C ) Π ( C ; φ ∖ α ) + sin 2 α F ( φ ∖ α ) p 2 + arctg ( p 2 2 sin 2 φ Δ ( φ ) ) {\displaystyle {\sqrt {(1-c)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}\right)}}\,\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )={\sqrt {(1-C)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{C}}\right)}}\,\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )\,+\,{\frac {\sin ^{2}\alpha \,F(\varphi \setminus \alpha )}{p_{2}}}\,+\,\operatorname {arctg} \,\left({\frac {p_{2}}{2}}{\frac {\sin {2\varphi }}{\Delta (\varphi )}}\right)} Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода править В случае, если амплитуда φ {\displaystyle \varphi } нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна π / 2 {\displaystyle \pi /2} , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:
K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2 φ = F ( π / 2 , k ) {\displaystyle K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}=F(\pi /2,\;k)} или
K ( k ) = ∫ 0 1 d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − k 2 x 2 ) . {\displaystyle K(k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}.} Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда :
K ( k ) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n n ! 2 ) 2 k 2 n , {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right)^{2}k^{2n},} что эквивалентно выражению
K ( k ) = π 2 ( 1 + ( 1 2 ) 2 k 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 k 4 + … + ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n + … ) , {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots \right),} где n ! ! {\displaystyle n!!} обозначает двойной факториал .
Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
K ( k ) = π 2 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) . {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{2}};\;1;\;k^{2}\right).} K ( 0 ) = π 2 . {\displaystyle K(0)={\frac {\pi }{2}}.} K ( 1 ) = ∞ . {\displaystyle K(1)=\infty .} K ( 2 2 ) = Γ ( 1 4 ) 2 4 π . {\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{4{\sqrt {\pi }}}}.} K ( 6 − 2 4 ) = 2 − 7 3 3 1 4 Γ ( 1 3 ) 3 π . {\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {1}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.} K ( 6 + 2 4 ) = 2 − 7 3 3 3 4 Γ ( 1 3 ) 3 π . {\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.} sn K = sin π 2 = 1. {\displaystyle \operatorname {sn} \,K=\sin {\frac {\pi }{2}}=1.} cn K = cos π 2 = 0. {\displaystyle \operatorname {cn} \,K=\cos {\frac {\pi }{2}}=0.} dn K = 1 − k 2 = k ′ . {\displaystyle \operatorname {dn} \,K={\sqrt {1-k^{2}}}=k'.} Производная полного эллиптического интеграла 1-го рода править d K ( k ) d k = E ( k ) k ( 1 − k 2 ) − K ( k ) k , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {K(k)}{k}},} где E ( k ) {\displaystyle E(k)} — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, определённый в следующем разделе.
Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением дифференциального уравнения
d d k ( k ( 1 − k 2 ) d K ( k ) d k ) = k K ( k ) . {\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=kK(k).} Вторым решением этого уравнения является K ( 1 − k 2 ) . {\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).}
Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода править В случае, если амплитуда φ {\displaystyle \varphi } нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна π / 2 {\displaystyle \pi /2} , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:
E ( k ) = ∫ 0 π / 2 1 − k 2 sin 2 φ d φ = E ( π / 2 , k ) {\displaystyle E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi =E(\pi /2,\;k)} или
E ( k ) = ∫ 0 1 1 − k 2 x 2 1 − x 2 d x . {\displaystyle E(k)=\int \limits _{0}^{1}\,{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx.} Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда :
E ( k ) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n n ! 2 ) 2 k 2 n 1 − 2 n , {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},} что эквивалентно выражению
E ( k ) = π 2 ( 1 − ( 1 2 ) 2 k 2 1 − ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 k 4 3 − … − ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n 2 n − 1 − … ) . {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\ldots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\ldots \right).} Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
E ( k ) = π 2 2 F 1 ( 1 2 , − 1 2 ; 1 ; k 2 ) . {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},\;-{\frac {1}{2}};\;1;\;k^{2}\right).} E ( 0 ) = π 2 . {\displaystyle E\left(0\right)={\frac {\pi }{2}}.} E ( 1 ) = 1. {\displaystyle E\left(1\right)=1.} E ( 2 2 ) = π 3 2 Γ ( 1 4 ) − 2 + Γ ( 1 4 ) 2 8 π . {\displaystyle E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{-2}+{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{8{\sqrt {\pi }}}}.} E ( 6 − 2 4 ) = 2 1 3 3 − 3 4 π 2 Γ ( 1 3 ) − 3 + 2 − 10 3 3 − 1 4 3 + 1 π Γ ( 1 3 ) 3 . {\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{-{\frac {3}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac {10}{3}}}3^{-{\frac {1}{4}}}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}.} E ( 6 + 2 4 ) = 2 1 3 3 − 1 4 π 2 Γ ( 1 3 ) − 3 + 2 − 10 3 3 1 4 3 − 1 π Γ ( 1 3 ) 3 . {\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{-{\frac {1}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac {10}{3}}}3^{\frac {1}{4}}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}.} Производная полного эллиптического интеграла 2-го рода править d E ( k ) d k = E ( k ) − K ( k ) k . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}.} Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения
( k 2 − 1 ) d d k ( k d E ( k ) d k ) = k E ( k ) . {\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k).} Вторым решением этого уравнения является функция E ( 1 − k 2 ) − K ( 1 − k 2 ) . {\displaystyle E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).}
Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода править Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:
Π ( c , k ) = Π ( c ; π / 2 , k ) = ∫ 0 π / 2 d φ ( 1 + c sin 2 φ ) 1 − k 2 sin 2 φ {\displaystyle \Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;\pi /2,\;k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}} или
Π ( c , k ) = Π ( c ; 1 , k ) = ∫ 0 1 d x ( 1 + c x 2 ) ( 1 − k 2 x 2 ) ( 1 − x 2 ) . {\displaystyle \Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;1,\;k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}.} Π ( c ∖ α ) = K ( α ) + δ 1 K ( α ) Z ( ε ∖ α ) {\displaystyle \Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+\delta _{1}K(\alpha )\mathrm {Z} (\varepsilon \setminus \alpha )} ,где Z ( ε ∖ α ) {\displaystyle \mathrm {Z} (\varepsilon \setminus \alpha )} — дзета-функция Якоби .
Π ( c ∖ α ) = K ( α ) − Π ( C ∖ α ) . {\displaystyle \Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )-\Pi (C\setminus \alpha ).} Π ( c ∖ α ) = K ( α ) + 1 2 π δ 2 ( 1 − Λ 0 ( ε ∖ α ) ) , {\displaystyle \Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+{\frac {1}{2}}\pi \delta _{2}\left(1-\Lambda _{0}(\varepsilon \setminus \alpha )\right),} где Λ 0 ( ε ∖ α ) {\displaystyle \Lambda _{0}(\varepsilon \setminus \alpha )} — лямбда-функция Хеймана .
Π ( c ∖ α ) = − c cos 2 α Π ( C ∖ α ) ( 1 − c ) ( sin 2 α − n ) + sin 2 α sin 2 α − c K ( α ) . {\displaystyle \Pi (c\setminus \alpha )=-{\frac {c\cos ^{2}\alpha \,\Pi (C\setminus \alpha )}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -n)}}+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha -c}}K(\alpha ).} ∂ Π ( c , k ) ∂ c = 1 2 ( k 2 − c ) ( c − 1 ) ( E ( k ) + 1 c ( k 2 − c ) K ( k ) + 1 c ( c 2 − k 2 ) Π ( c , k ) ) . ∂ Π ( c , k ) ∂ k = k c − k 2 ( E ( k ) k 2 − 1 + Π ( c , k ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial c}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-c\right)(c-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{c}}\left(k^{2}-c\right)K(k)+{\frac {1}{c}}\left(c^{2}-k^{2}\right)\Pi (c,k)\right).\\[10px]{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{c-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (c,k)\right).\end{aligned}}} Дополнительные эллиптические интегралы (неполные) править Милн-Томсон Л. Эллиптические интегралы // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М. : Наука, 1979. — С. 401—441. — 832 с. — 50 000 экз. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции . — Т. 3 (гл. 13).Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. (гл. 3, 7).Эллиптические функции (недоступная ссылка) , Процедуры для Matlab .