Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 27 ноября 2022 года; проверки требуют 5 правок.
Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях:если целая функция комплексных переменных ограничена, то есть
то есть константа.
Обобщения править
- Если ― целая функция в , и для некоторого
- то есть многочлен по переменным степени не выше .
- Если ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве ,
- то есть гармонический многочлен по переменным.
История править
Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 году Коши для случая . Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.
Доказательство (для одномерного случая) править
Пусть функция , , ограничена на комплексной плоскости, то есть
Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной :
где — окружность радиуса , содержащая точку , или .
Имеем
Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем , а значит и, следовательно, является константой. Теорема доказана.
Литература править
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|
🔥 Top keywords: Заглавная страницаЯндексСлужебная:ПоискYouTubeГодовщины свадьбыПопков, Михаил ВикторовичКарис, АларАнораЧемпионат мира по хоккею с шайбой 2024ТалибанРаневская, Фаина ГеоргиевнаСписок умерших в 2024 годуВоронеж (радиолокационная станция)ВКонтактеРоссияTelegramИскандер, Рамиля РифовнаЧикатило, Андрей РомановичПутин, Владимир ВладимировичЧемпионат мира по хоккею с шайбой27 маяСолженицын, Александр ИсаевичВоры и проститутки. Приз — полёт в космосВызов (фильм, 2023)Fallout (серия игр)Борисов, Юрий АлександровичНовости (Дзен)Попов, Иван Иванович (1975)КлеопатраЭйдельштейн, Марк АлександровичСанкт-ПетербургВторжение России на Украину (с 2022)Министерство неджентльменских делБелоусов, Андрей РэмовичМорпехи (фильм)Лебедев, Артемий АндреевичWildberriesБриджертоныВодительское удостоверение в Российской Федерации