Сферическая теорема синусов

Доказательство с помощью проекций^[1].На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен π — C, кроме того, BN = R sin c и BM = R sin a. Далее, проецируем BN и BM на BP, получаем:

${\displaystyle BP=BN\sin \angle BNP=R\sin c\sin A,}$

${\displaystyle BP=BM\sin \angle PMB=R\sin a\sin(\pi -C)=R\sin a\sin C,}$

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}$

Аналогично получаем второе равенство.

Доказательство, опирающееся на уже доказанные соотношения между сторонами и углами сферического прямоугольного треугольника. Опустим из вершины C перпендикуляр CD = h на сторону с или её продолжение. Выразим h двояким образом из возникших при этом прямоугольных треугольников ACD и BCD:

${\displaystyle \sin h=\sin b\sin A=\sin a\sin B.}$

Отсюда получаем пропорцию

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}},}$

к которой аналогичным образом добавляем отношение третьей пары «сторона-угол».