Поток векторного поля
Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:
- поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;
- фазовый поток — поток векторного поля — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов , определяемых дифференциальным уравнением .
Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).
Поток векторного поля через поверхность
правитьПоток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности . По определению,
,
где — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства),
— единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы
было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль),
— элемент поверхности.
В трёхмерном случае , а поверхностью является обычная двумерная поверхность.
Иногда применяется обозначение
.
тогда поток записывается в виде
.
Размерность потока — это размерность величины , домноженная на квадратный метр (в СИ).
Некоторые физические примеры
править- Из гидродинамики
Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность
, будет равен потоку векторного поля
.
Если плотность равна , то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины
:
.
- Из электродинамики
В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции
и
.
А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:
и
,
где — электрический заряд, а поток вектора
нулевой, так как магнитные заряды не существуют.
Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:
через поперечное сечение токоведущего проводника.
- О понятии плотности потока
Если векторным полем , поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях
имеет структуру
, где
обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м3, заряда в Кл/м3, энергии в Дж/м3 и т.д.), а
— скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока
,
), подобное название не имеет смысла.
См. также
правитьЭто заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |