Мультивектор

Мультивектор — элемент внешней алгебры, представляющий собой сумму поливекторов (векторов, бивекторов, тривекторов и т. д.).

Любой поливектор (k-вектор) можно представить как сумму k-лезвий (простых k-векторов), где каждое k-лезвие в свою очередь разложимо на внешнее произведение векторов количеством k штук.

2-лезвие может быть геометрически представлено как ориентированная плоскость в пространстве любой размерности и может использоваться для представления вращения в нём.

n-вектор в пространстве размерности n называется псевдоскаляром, тогда как (n-1)-вектор называется псевдовектором. Так псевдовектором трёхмерного пространства является любой бивектор.

Сумма 1-вектора и скаляра также известна как паравектор.

k-вектор дуален к k-форме.

Свойства:

• Любая линейно независимая система векторов ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}}$ из ${\displaystyle V}$ определяет ненулевой k-вектор;
• Линейно независимые системы ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}}$ и ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{k}}$ порождают одно и то же подпространство в ${\displaystyle V}$ в том и только в том случае, когда
      ${\displaystyle a_{1}\wedge a_{2}\wedge \dots \wedge a_{k}=\lambda b_{1}\wedge b_{2}\wedge \dots \wedge b_{k}}$;
• Для любого ненулевого поливектора ${\displaystyle t\in \bigwedge \nolimits ^{k}V}$ его аннулятор ${\displaystyle \operatorname {Ann} t=\{v\in V|t\wedge v=0\}}$ есть подпространство размерности ${\displaystyle \leq k}$, причём поливектор ${\displaystyle t}$ разложим тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \dim \operatorname {Ann} t=k}$;
• Разложимые k-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в ${\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}$ соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана;
• Любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;
• Бивектор ${\displaystyle t}$ разложим тогда и только тогда, когда ${\displaystyle t\wedge t=0}$;
• Если фиксировать ненулевой ${\displaystyle n}$-вектор ${\displaystyle \omega \in \bigwedge \nolimits ^{n}(V)}$, то возникает естественный изоморфизм:

  ${\displaystyle \pi :\bigwedge \nolimits ^{k}(V)\to \bigwedge \nolimits ^{n-k}(V)}$

  такой, что ${\displaystyle t\wedge u=\langle \pi (t),u\rangle \omega }$ для всех ${\displaystyle u\in \bigwedge \nolimits ^{n-k}(V)}$.