Заряд (теория меры)
Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой -алгебре, (например, борелевских подмножеств).
В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают неотрицательную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения.
Множество всех зарядов над произвольным множеством c сигма-алгеброй принято обозначать .
Связанные определения
править- Положительный заряд
называется чисто конечно аддитивным, если для любой неотрицательной счётно-аддитивной меры
из
вытекает, что
.
- Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды
и
.
- Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды
- Заряд
абсолютно непрерывен относительно меры
, если
Свойства
править- Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже, более того,
-пространство.
- Для любого заряда
имеется положительная часть
и отрицательная часть
. Имеет место разложение Хана — Жордана
, в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
- Пусть
.
Любой зарядединственным образом представим в виде суммы
, где
абсолютно непрерывна относительно
и
дизъюнктна
. Такое представление меры
принято назвать разложением по Лебегу.
- Любой заряд
единственным образом представим в виде суммы
, где
— произвольная счётно-аддитивная мера, а
— произвольный чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
- Пространство
является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.
История
правитьТермин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым.Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (1940-е годы).
См. также
правитьЛитература
править- Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
- Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М., 1966.
- Халмош П. Теория меры. // Пер. с англ. — М., 1953.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I // Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II // Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III // Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
- Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66.
В статье есть список источников, но не хватает сносок. |
🔥 Top keywords: Заглавная страницаЯндексСлужебная:ПоискЧемпионат Европы по футболу 2024Заворотнюк, Анастасия ЮрьевнаYouTubeГодовщины свадьбыКриштиану РоналдуАлискеров, Икрам СабировичБитва экстрасенсовМаск, ИлонПавлович, Сергей ВладимировичДень Святой ТроицыБотулизмВолков, Александр ЕвгеньевичСписок умерших в 2024 годуЧемпионат Европы по футболуЧернышёв, Пётр АндреевичГоловоломка 2Великая Отечественная войнаШара БуллетРоссияСазерленд, ДональдПацаны (4-й сезон)День памяти и скорби22 июняЧемпионат Европы по футболу 2020КлеопатраПепе (футболист, 1983)Пацаны (телесериал)Корейская Народно-Демократическая РеспубликаБРИКСПутин, Владимир ВладимировичЧикатило, Андрей РомановичВторая мировая войнаМнацаканян, Лала БабкеновнаСпортивные игры БРИКС 2024Абдразаков, Ильдар АмировичБриджертоны