Grupo fundamental
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Maio de 2012) |
O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Fundamental_group_torus2.png/220px-Fundamental_group_torus2.png)
Definição
editarSeja um espaço topológico e
um ponto. O grupo fundamental de
baseado em
, representado por
é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em
onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se
e
são lacetes centrados em
, e
indica a classe de homotopia, então
.
Toda curva de
a
define um homomorfismo de grupos entre
e
por
. Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando
é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja,
é isomorfo a
, para quaisquer
.
Aplicações contínuas e homomorfismos
editarSe é uma aplicação contínua tal que
, então ela induz um homomorfismo
entre
e
dado por
. Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que
.
Functorialidade
editarSeja a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas
, onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos
são aplicações contínuas
tal que
. Então
pode ser visto como um functor entre
e
. Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.
Referências
- Munkres, James R. (2000). Topology. [S.l.]: Prentice Hall, Incorporated. ISBN 9780131816299.
- Munkres, James R. (1997). Elements of Algebraic Topology. [S.l.]: Mir. 454 páginas. ISBN 5855012034
- Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521795400
- Joseph J., Rotman (1988). An Introduction to Algebraic Topology. [S.l.]: Springer. ISBN 0387966781