Stożek (bryła)

Stożek obrotowy prosty to bryła wypukła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna ta tworzy wysokość ${\displaystyle (h)}$ stożka, druga przyprostokątna staje się promieniem podstawy ${\displaystyle (r)}$ zaś przeciwprostokątna – tworzącą stożka ${\displaystyle (l).}$

Stożek w kartezjańskim układzie współrzędnych opisany jest układem nierówności:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}\leqslant \left({\frac {zr}{h}}\right)^{2}\\&0\leqslant z\leqslant h\end{aligned}}\right.,}$

gdzie: ${\displaystyle r>0,\ h>0.}$

Długość tworzącej stożka edytuj

Tworząca stożka to odcinek łączący dowolny punkt na brzegu podstawy stożka z jego wierzchołkiem (dla stożka prostego i pochyłego) lub najbliższym punktem na brzegu drugiej podstawy (dla stożka ściętego).

Tworzącą stożka oznacza się najczęściej małą literą ${\displaystyle l.}$ Jej długość dana jest wzorem:

• ${\displaystyle l={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ – dla stożka prostego. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt utworzony przez promień podstawy ${\displaystyle r,}$ wysokość stożka ${\displaystyle h}$ i tworzącą ${\displaystyle l}$ jest prostokątny).

Pole powierzchni bocznej stożka edytuj

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}=\pi rl.}$ ^[2]

Wzór ten można uzyskać w następujący sposób: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek kołowy o promieniu ${\displaystyle R=l}$ takim jak tworząca stożka i długości łuku równej obwodowi podstawy stożka ${\displaystyle L=2\pi r.}$

Wycinek kołowy o promieniu ${\displaystyle R}$ i długości łuku ${\displaystyle L}$ ma pole powierzchni^[a]:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {1}{2}}LR,}$

stąd

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}={\frac {1}{2}}LR={\frac {1}{2}}2\pi rl=\pi rl.}$

Pole powierzchni całkowitej stożka edytuj

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{c}={\mathcal {P}}_{b}+{\mathcal {P}}_{p},}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{c}=\pi rl+\pi r^{2},}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{c}=\pi r(r+l).}$ ^[2]

Objętość stożka edytuj

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\mathcal {P}}_{p}h.}$ ^[2]

Wzór ten obowiązuje także dla dowolnych ostrosłupów, ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}}$ jest wtedy polem wielokątnej podstawy. Koło jest granicznym przypadkiem ciągu wielokątów foremnych dla liczby boków dążącej do nieskończoności.

Kąt rozwarcia stożka edytuj

Tym terminem oznacza się kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stożka

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {r}{h}}.}$

Objętość kuli opisanej na stożku edytuj

${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{6}}\pi {\frac {l^{6}}{(l^{2}-r^{2}){\sqrt {l^{2}-r^{2}}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle l}$ – tworząca,

${\displaystyle r}$ – promień podstawy stożka.

• kula
• krzywe stożkowe
• ostrosłup
• powierzchnia stożkowa
• stożek ścięty
• walec
• wielościan

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, s. 226, ISBN 83-01-11658-7.