Бернулиев опит

Бернулиев опит
	Закон на распределба (pdf) со p=0.65
	Кумулативна распределба (cdf) со p=0.65
Тип	Дискретна
Означување	B(1, p ), p∈(0,1)
Параметри	p ∈ [0,1] = веројатност успех по опит
Поддршка	k∈{0,1}
PDF
CDF
μ	p
σ2	p(1 − p)

Во веројатностa и во статистиката, Бернулиев опит B(1,p), p∈(0,1) е случаен опит кој има точно два можни исходи.^[1]

Обичајно е да едниот исход се „именува“ успех, а другиот неуспех (не мора да се согласува со реалното значење на исходите).
Соодветно на тоа, случајната променлива на Бернулиев опит е Х={0,1} каде што

Х(успех)=1

Х(неуспех)=0

Нека веројатноста на успех е p на еден Бернулиев опит. Тогаш веројатноста на неуспех е q=1-p. Следува дека

Pr(X=1)=p

.

Pr(X=0)=1-p

Одлики на Бернулиев опит B(1,p) уреди

Бернулиев опит е потполно определен со веројатноста на успехот, односно со број p, 0<p<1.
Бернулиев опит е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со 2 елементи: X={0,1}.
Pr(X=k) е веројатноста на k успеси во 1 повторувањe на опитот, k∈X. (Види Биномна распределба, Геометриска распределба)

Распределби на Бернулиев опит уреди

Бернулиев опит ја има дискретната случајна променлива: X={0,1}.

Закон на распределба - PDF на B(1,p) уреди

PDF на B(1,p)
X=x	0	1
Pr(X=x)=f(x)	1-p	p

Кумулативна распределба - CDF на B(1,p) уреди

CDF на B(1,p)
x∈	(-∞,0)	[0,1)	[1,∞)
Pr(X<x)=F(x)	0	1-p	1

Други одлики на Бернулиев опит уреди

Бидејќи секој Бернулиев опит има точно два можни исходи, опитот секогаш може да се преформулира како прашање со можни одговори да или не.
Експеримент каде што Бернулиев опит со веројатноста р се повторува точно n пати се вика Биномен експеримент и се означува со B(n,p), n&isin ℕ. Треба да се прави разлика помеѓу еден Бернулиев опит со веројатност р на успех со безброј биномните експерименти заснован на тој опит (секој со свој број n). (Види Биномен експеримент)

Мерки на Бернулиев опит уреди

Очекувана вредност E(x) = Аритметичка средина μ

E(x)=\mu =\sum \limits _{j=1}^{2}{{x_{j}}\cdot {p_{j}}=0(1-p)+1\cdot p=p}

Расејување σ²

\sigma ^{2}=\sum \limits _{j=1}^{2}{{{({x_{j}}-\mu )}^{2}}\cdot {p_{j}}={{(0-p)}^{2}}(1-p)+{{(1-p)}^{2}}\cdot p=p(1-p)}

Примери уреди

Пример 1: Еден стрелец има 65% шанса за погодок при секое гаѓање. Каков е соодветниот Бернулиев опит?

Претпоставиме дека погодок е „успех“. Тогаш p=65%=0.65.

PDF на B(1,0.65)

CDF на B(1,0.65)

X=x	0	1
Pr(X=x)=f(x)	0.35	0.65

x∈	(-∞,0)	[0,1)	[1,∞)
Pr(X<x)=F(x)	0	0.35	1

f(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{0.35}&{x=0}\\0.65&{x=1}\end{array}}\right.

F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}0&{x<0}\\{0.35}&{0\leq x<1}\\1&{x\geq 1}\end{array}}\right.

Очекуваната вредност:	E(x)=μ=0.65
Расејувањето е:	σ²=0.65 ·0.35=0.2275
Стандардното отстапување е:	σ ≈ 0.4770

Пример 2: Опитот е: Фрлање на коцка и пишување П за победа ако бројот на горната страна е 4-ка, а Г за губиток (пораз) за сите други исходи. Каков е соодветниот Бернулиев опит?

Претпоставиме дека победа е „успех“. Тогаш p=⅙≈0.167 (види ги примерите кај случајна променлива).

PDF на B(1,0.65)
X=x	0	1
Pr(X=x)=f(x)	0.833	0.167

CDF на B(1,0.65)
x∈	(-∞,0)	[0,1)	[1,∞)
Pr(X<x)=F(x)	0	0.833	1

Поврзано уреди

Наводи уреди

↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Bernoulli distribution"“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 83. Посетено на 1 септември 2013.

Надворешни врски уреди

Стојановска, Л (2010). „Бернулиев опит“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на 1 October 2013. интерактивен
Bogomolny, Alexander (2007). „Bernoulli Trials“ (англиски). cut-the-knot.org. Посетено на 1 October 2013.
Leemis, L. (2007). „Univariate Distribution Relationships“ (англиски). William and Mary, VA, USA. Посетено на 1 October 2013.
„Bernoulli Trial with R-programming Language“ (англиски). Посетено на 1 October 2013. со алгоритми за генерирање на случајни податоци

[1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Bernoulli distribution"“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 83. Посетено на 1 септември 2013.

[1]