해석학 에서 횔더 연속 함수 (Hölder連續函數, 영어 : Hölder-continuous function )는 두 점 사이의 거리를 일정 거듭제곱 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 립시츠 연속 함수 의 개념의 일반화이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
두 로비어 공간 ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} , ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} 음이 아닌 실수 α ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \alpha \in [0,\infty )} 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 가 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수 라고 한다.[1] :254, §5.1
모든 x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} 에 대하여, d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) ≤ C d X ( x , x ′ ) α {\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq Cd_{X}(x,x')^{\alpha }} 인 C > 0 {\displaystyle C>0} 가 존재한다. 만약 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 가 다음 조건을 만족시킨다면, f {\displaystyle f} 가 국소 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수 (영어 : locally α {\displaystyle \alpha } -Hölder-continuous function)라고 한다.
임의의 콤팩트 집합 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} 및 x , x ′ ∈ K {\displaystyle x,x'\in K} 에 대하여, d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) ≤ C K d X ( x , x ′ ) α {\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq C_{K}d_{X}(x,x')^{\alpha }} 인 C K > 0 {\displaystyle C_{K}>0} 가 존재한다. 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 및 α ∈ R ≥ 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{\geq 0}} 에 대하여, α {\displaystyle \alpha } -횔더 반노름 (영어 : α {\displaystyle \alpha } -Hölder seminorm)을 다음과 같이 정의하자.[1] :254, §5.1
‖ f ‖ H o ¨ , α = sup x , x ′ ∈ X d ( x , x ′ ) > 0 d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ( d X ( x , x ′ ) ) α ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \|f\|_{\mathrm {H{\ddot {o}}} ,\alpha }=\sup _{x,x'\in X\;d(x,x')>0}{\frac {d_{Y}(f(x),f(x')}{(d_{X}(x,x'))^{\alpha }}}\in [0,\infty ]} 즉, 어떤 함수가 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수인 것은 유한한 α {\displaystyle \alpha } -횔더 반노름을 갖는 것과 동치 이다.
α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수들의 공간을 C 0 , α ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)} 로 표기하자. 이 위에는 α {\displaystyle \alpha } -횔더 반노름을 주어 위상 공간 으로 만들 수 있다.
0-횔더 연속 함수는 유계 함수 이며, 1-횔더 연속 함수는 C {\displaystyle C} -립시츠 연속 함수 이다. 임의의 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 에 대하여, α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수는 연속 함수 이다. (그러나 물론 유계 함수 는 연속 함수 가 아닐 수 있다.)
포함 관계 편집 만약 X {\displaystyle X} 가 콤팩트 공간 이라고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 의 지름 이 유한하며,임의의 0 < α ≤ β < ∞ {\displaystyle 0<\alpha \leq \beta <\infty } 에 대하여, 자연스러운 포함 사상
C 0 , β ( X , Y ) ⊆ C 0 , α ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\beta }(X,Y)\subseteq {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)} 이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.
‖ f ‖ 0 , α ≤ diam ( X ) β − α ‖ f ‖ 0 , β {\displaystyle \|f\|_{0,\alpha }\leq \operatorname {diam} (X)^{\beta -\alpha }\|f\|_{0,\beta }} 따라서, 위 포함 관계는 연속 함수 이자 사실 작용소 노름 이 diam ( X ) β − α {\displaystyle \operatorname {diam} (X)^{\beta -\alpha }} 이하인 유계 작용소 이다. 또한, 아르첼라-아스콜리 정리 에 의하여, C 0 , β ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\beta }(X,Y)} 에서의 유계 집합 은 C 0 , α ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)} 에서의 상대 콤팩트 집합 이다.
함수
[ 0 , 1 / 2 ] → R {\displaystyle [0,1/2]\to \mathbb {R} } x ↦ { 0 x = 0 1 / ln x x > 0 {\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}0&x=0\\1/\ln x&x>0\end{cases}}} 를 생각하자. 이는 연속 함수 이며 (정의역 이 콤팩트 공간 이므로) 균등 연속 함수 이지만, 0 근처에서 매우 가파르게 감소하므로 임의의 α < ∞ {\displaystyle \alpha <\infty } 에 대하여 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수가 되지 못한다.
임의의 0 < β < ∞ {\displaystyle 0<\beta <\infty } 에 대하여, 함수
R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } x ↦ x β {\displaystyle x\mapsto x^{\beta }} 는 0 < α ≤ β {\displaystyle 0<\alpha \leq \beta } 에 대하여 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수이지만, α > β {\displaystyle \alpha >\beta } 일 경우 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수가 아니다.
페아노 곡선 편집 전사 1 / 2 {\displaystyle 1/2} -횔더 연속 함수
[ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]\to [0,1]^{2}} 가 존재한다. 즉, 이는 페아노 곡선 의 일종이다. 그러나 α > 1 / 2 {\displaystyle \alpha >1/2} 의 경우, 전사 α {\displaystyle \alpha } -횔더 연속 함수 [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]\to [0,1]^{2}} 는 존재할 수 없다.
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