위너 확률 과정 에 대한 이토 적분은 다음과 같다. (보다 일반적으로 준마팅게일 에 대하여 이토 적분을 정의할 수 있다.)
평균 제곱 적분 가능 확률 과정의 바나흐 공간 편집 확률 공간 Ω {\displaystyle \Omega } 위의 확률 과정
( X t : Ω → R ) t ∈ [ a , b ] {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}} 을 생각하자. 만약
E ( ∫ a b X t 2 d t ) < ∞ {\displaystyle \mathbb {E} \left(\int _{a}^{b}X_{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right)<\infty } 라면, X {\displaystyle X} 를 평균 제곱 적분 가능 확률 과정 (平均제곱積分可能確率過程, 영어 : mean-square-integrable stochastic process )이라고 한다. Ω × [ a , b ] → R {\displaystyle \Omega \times [a,b]\to \mathbb {R} } 평균 제곱 적분 확률 과정들의 공간을
S 2 ( Ω , [ a , b ] ) {\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}(\Omega ,[a,b])} 로 표기하자. 이 위에는 자연스러운 반노름
‖ X ‖ S 2 = E ( ∫ a b X t 2 d t ) {\displaystyle \|X\|_{{\mathcal {S}}^{2}}=\mathbb {E} \left(\int _{a}^{b}X_{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right)} 이 존재한다. 이 반노름이 0인 확률 과정들(거의 어디서나 값이 0인 것들)의 부분 공간
N ⊆ S 2 ( Ω , [ a , b ] ) {\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {S}}^{2}(\Omega ,[a,b])} 에 대한 몫공간
S 2 ( Ω , [ a , b ] ) = S 2 ( Ω , [ a , b ] ) N {\displaystyle \operatorname {S} ^{2}(\Omega ,[a,b])={\frac {{\mathcal {S}}^{2}(\Omega ,[a,b])}{\mathcal {N}}}} 은 노름 공간 이며, 사실 바나흐 공간 을 이룬다.
확률 공간 ( Ω , F ∞ , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{\infty },\Pr )} 위의 (표준) 위너 확률 과정 ( W t : Ω → R ) t ∈ [ a , b ] {\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}} 이 주어졌다고 하자. ( Ω , F t ) t ∈ [ a , b ] {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t})_{t\in [a,b]}} 가 W t {\displaystyle W_{t}} 의 자연 여과 확률 공간 의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.
B ( [ 0 , t ] ) ⊆ Pow ( [ 0 , t ] ) {\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])\subseteq \operatorname {Pow} ([0,t])} 가 [ 0 , t ] {\displaystyle [0,t]} 의 보렐 집합 들의 시그마 대수 라고 하자.
다음이 주어졌다고 하자.
모든 F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} 들과 독립 인 시그마 대수 G ⊆ F ∞ {\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\infty }} 유한 증가 실수열 a = t 0 ≤ t 1 ≤ t 2 … ≤ ⋯ ≤ t N = b {\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\dotsc \leq \dotsb \leq t_{N}=b} 그렇다면, 여과 확률 공간
( Ω , σ ( F t ∪ G ) , Pr ) t ∈ [ a , b ] {\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )_{t\in [a,b]}} 을 정의할 수 있다. (여기서 σ ( − ) {\displaystyle \sigma (-)} 는 주어진 집합족으로 생성되는 시그마 대수 를 뜻한다.) 다시 말해, 이 여과 확률 공간 은 ‘위너 확률 과정으로 알려진 정보’ + ‘시간에 의존하지 않는 추가 정보’를 나타낸다.
( Ω , σ ( F t ∪ G ) , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )} 위의 순응 확률 과정
( X t : Ω → R ) t ∈ [ a , b ] {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}} 이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, ( W , G , ( t i ) i = 0 N ) {\displaystyle (W,{\mathcal {G}},(t_{i})_{i=0}^{N})} -기초 확률 과정 (基礎確率過程, 영어 : elementary stochastic process )이라고 한다.
임의의 t ∈ [ a , b ] {\displaystyle t\in [a,b]} 에 대하여, ( X ↾ [ 0 , t ] × Ω ) : [ 0 , t ] × Ω → R {\displaystyle (X\upharpoonright [0,t]\times \Omega )\colon [0,t]\times \Omega \to \mathbb {R} } 는 시그마 대수 B ( [ 0 , t ] ) × F t {\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])\times {\mathcal {F}}_{t}} 에 대한 가측 함수 이다. ∀ i ∈ { 0 , … , N − 1 } ∀ t ∈ [ t i , t i + 1 ) : X t = X t i {\displaystyle \forall i\in \{0,\dotsc ,N-1\}\forall t\in [t_{i},t_{i+1})\colon X_{t}=X_{t_{i}}} 이다. ( W , G , ( t i ) i = 0 N ) {\displaystyle (W,{\mathcal {G}},(t_{i})_{i=0}^{N})} -기초 확률 과정 ( X t : Ω → R ) t ∈ [ a , b ] {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}} 의 이토 적분 은 다음과 같은 확률 변수 이다.
∫ a b X t d W t = ∑ i = 0 N − 1 X t i ( W t i + 1 − W t i ) {\displaystyle \int _{a}^{b}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}=\sum _{i=0}^{N-1}X_{t_{i}}(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}})} 임의의 위너 확률 과정 W {\displaystyle W} 에 대하여, 그 위의 (모든 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 및 ( t i ) i = 0 N {\displaystyle (t_{i})_{i=0}^{N}} 에 대한) 기초 확률 과정들의 부분 벡터 공간은 바나흐 공간 S 2 ( Ω , [ a , b ] ) {\displaystyle \operatorname {S} ^{2}(\Omega ,[a,b])} 속의 조밀 집합 을 이룬다. 즉, 모든 평균 제곱 적분 확률 과정은 S 2 {\displaystyle \operatorname {S} ^{2}} -노름에 대하여 수렴하는 기초 확률 과정들의 열로 근사될 수 있다.
임의의 평균 제곱 적분 가능 확률 과정
X ∈ S 2 ( Ω , [ a , b ] ) {\displaystyle X\in {\mathcal {S}}^{2}(\Omega ,[a,b])} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, X {\displaystyle X} 로 ( S 2 {\displaystyle \operatorname {S} ^{2}} -노름에 대하여) 수렴하는 기초 확률 과정들의 열 Y ( 1 ) , Y ( 2 ) , … {\displaystyle Y^{(1)},Y^{(2)},\dotsc } 을 항상 고를 수 있다. 그렇다면, 확률 변수 들의 열
∫ a b Y t ( i ) d W t : Ω → R {\displaystyle \int _{a}^{b}Y_{t}^{(i)}\,\mathrm {d} W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} } 을 정의할 수 있다. 이는 르베그 공간 L 2 ( Ω , R ) {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )} 의 원소이며, 항상 ( L 2 {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}} -노름에 대한) 극한 을 갖는다. ( X t : Ω → R ) t ∈ [ a , b ] {\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}} 의 이토 적분
∫ a b X t d W t ∈ L 2 ( Ω , R ) {\displaystyle \int _{a}^{b}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\in \operatorname {L} ^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )} 은 ∫ a b Y t ( i ) d W t {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}Y_{t}^{(i)}\,\mathrm {d} W_{t}} 들의 ( L 2 {\displaystyle \operatorname {L} ^{2}} -노름) 극한이다.
lim i → ∞ L 2 ∫ a b Y t ( i ) d W t = ∫ a b X t d W t ∈ L 2 ( Ω , R ) {\displaystyle \lim _{i\to \infty }^{\operatorname {L} ^{2}}\int _{a}^{b}Y_{t}^{(i)}\,\mathrm {d} W_{t}=\int _{a}^{b}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\in \operatorname {L} ^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )} 이는 사용한 Y ( i ) {\displaystyle Y^{(i)}} 에 의존하지 않음을 보일 수 있다.