일반위상수학 에서 집적점 (集積點, 영어 : accumulation point )은 그 임의의 근방 이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.
기수 κ ∈ Card {\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} } 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 X {\displaystyle X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 및 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 다음 조건을 만족시킨다면, x {\displaystyle x} 가 Y {\displaystyle Y} 의 κ {\displaystyle \kappa } -집적점 (集積點, 영어 : κ {\displaystyle \kappa } -accumulation point)이라고 한다.
임의의 x {\displaystyle x} 의 근방 X ⊇ U ∋ x {\displaystyle X\supseteq U\ni x} 에 대하여, | U ∩ Y | ≥ κ {\displaystyle |U\cap Y|\geq \kappa } 이다. 특히, 임의의 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 및 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.
acc ( x , Y ) = min U ∈ N x | Y ∩ U | {\displaystyle \operatorname {acc} (x,Y)=\min _{U\in {\mathcal {N}}_{x}}|Y\cap U|} 여기서 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} 는 x {\displaystyle x} 의 근방 필터 이다. 즉, x {\displaystyle x} 는 항상 Y {\displaystyle Y} 의 acc ( x , Y ) {\displaystyle \operatorname {acc} (x,Y)} -집적점이다.
Y {\displaystyle Y} 의 κ {\displaystyle \kappa } -집적점들의 집합을
a c c p t κ ( Y ) = { x ∈ X : acc ( x , Y ) ≥ κ } {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)=\{x\in X\colon \operatorname {acc} (x,Y)\geq \kappa \}} 로 표기하자.
특별한 값의 κ {\displaystyle \kappa } 에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.
Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 | Y | {\displaystyle |Y|} -집적점을 완비 집적점 (完備集積點, 영어 : complete accumulation point )이라고 한다. ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -집적점을 응집점 (凝集點, 영어 : condensation point )이라고 한다. (여기서 ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} 은 최소의 비가산 기수이다.)2-집적점을 극한점 (極限點, 영어 : limit point )이라고 한다. (즉, Y {\displaystyle Y} 의 극한점은 임의의 근방 X ⊇ U ∋ x {\displaystyle X\supseteq U\ni x} 에 대하여, U ∩ Y ∖ { x } ≠ ∅ {\displaystyle U\cap Y\setminus \{x\}\neq \varnothing } 인 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 이다.) 극한점들의 집합을 유도 집합 (誘導集合, 영어 : derived set )이라고 하며, 흔히 a c c p t 2 ( Y ) = Y ′ {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{2}(Y)=Y'} 으로 표기한다. X ⊆ X {\displaystyle X\subseteq X} 의 극한점이 아닌 점 x ∈ X ∖ X ′ {\displaystyle x\in X\setminus X'} 은 고립점 (孤立點, 문화어 : 외딴점, 영어 : isolated point )이라고 한다. (즉, X {\displaystyle X} 의 고립점은 { x } {\displaystyle \{x\}} 가 열린집합 인 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 이다.) 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, 집합 Y ∖ Y ′ {\displaystyle Y\setminus Y'} 은 Y {\displaystyle Y} 를 부분 공간으로 하는 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 선택과 무관하며, 특히 이는 Y {\displaystyle Y} 의 고립점의 집합이다. 1-집적점을 폐포점 (閉包點, 영어 : closure point ) 또는 밀착점 (密着點, 영어 : adherent point )이라고 한다. Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 폐포점은 Y {\displaystyle Y} 의 원소이거나 아니면 Y {\displaystyle Y} 의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 폐포 a c c p t 1 ( Y ) = cl Y {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{1}(Y)=\operatorname {cl} Y} 라고 한다. 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 는 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 의 0-집적점이다.
폐포와의 관계 편집 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 과 점 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이다.
x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 폐포점이다. x ∈ Y {\displaystyle x\in Y} 이거나, 또는 x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 극한점이다.다시 말해, Y {\displaystyle Y} 의 폐포는 Y {\displaystyle Y} 와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.
X = a c c p t 0 ( Y ) {\displaystyle X=\operatorname {acc\,pt} _{0}(Y)} cl Y = Y ∪ Y ′ {\displaystyle \operatorname {cl} Y=Y\cup Y'} 위상 공간 X {\displaystyle X} 의 부분 집합 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
Y {\displaystyle Y} 는 닫힌집합 이다. Y ′ ⊆ Y {\displaystyle Y'\subseteq Y} cl Y = Y {\displaystyle \operatorname {cl} Y=Y} T1 공간의 경우 편집 만약 X {\displaystyle X} 가 T1 공간 이라면 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 극한점이다. x {\displaystyle x} 는 Y {\displaystyle Y} 의 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -집적점이다.따라서, T1 공간 의 경우 2 ≤ κ ≤ ℵ 0 {\displaystyle 2\leq \kappa \leq \aleph _{0}} 에 대하여 κ {\displaystyle \kappa } -집적점을 구별하지 않아도 된다.
T1 공간 의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합 이다.
다음 두 조건이 서로 동치 이다.
X {\displaystyle X} 는 이산 공간 이다. X {\displaystyle X} 의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.유도 집합 편집 다음이 성립한다.
임의의 κ ≥ 1 {\displaystyle \kappa \geq 1} 에 대하여, a c c p t κ ( ∅ ) = ∅ {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\varnothing )=\varnothing } 임의의 집합 Y , Z ⊆ X {\displaystyle Y,Z\subseteq X} 및 기수 κ ≤ 2 {\displaystyle \kappa \leq 2} 에 대하여, a c c p t κ ( Y ∪ Z ) = a c c p t κ ( Y ) ∪ a c c p t κ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y\cup Z)=\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)\cup \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)} 임의의 집합 Z ⊆ Y ⊆ X {\displaystyle Z\subseteq Y\subseteq X} 및 기수 κ ≥ λ {\displaystyle \kappa \geq \lambda } 에 대하여, a c c p t κ ( Z ) ⊆ a c c p t λ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\lambda }(Y)}
실수선의 부분 집합
S = { 1 / n : n ∈ Z + } ⊊ R {\displaystyle S=\{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}\subsetneq \mathbb {R} } 을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.
a c c p t κ ( S ) = { R κ = 0 S ∪ { 0 } κ = 1 { 0 } 2 ≤ κ ≤ ℵ 0 ∅ κ ≥ ℵ 1 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(S)={\begin{cases}\mathbb {R} &\kappa =0\\S\cup \{0\}&\kappa =1\\\{0\}&2\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases}}} 실수선 속의, 무리수 의 부분 집합 R ∖ Q ⊊ R {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} } 을 생각하자.
a c c p t κ ( R ∖ Q ) = { R 0 ≤ κ ≤ 2 ℵ 0 ∅ κ > 2 ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0}}\end{cases}}} 실수선 속의, 유리수 의 부분 집합 Q ⊊ R {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} } 을 생각하자.
a c c p t κ ( Q ) = { R 0 ≤ κ ≤ ℵ 0 ∅ κ ≥ ℵ 1 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases}}} 실수선을 스스로의 부분 집합 R ⊆ R {\displaystyle \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} } 으로 여기자.
a c c p t κ ( R ) = { R 0 ≤ κ ≤ 2 ℵ 0 ∅ κ > 2 ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0}}\end{cases}}} 즉, 실수선은 자기 조밀 공간 이며 고립점을 갖지 않는다.
실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 부분 공간 { 0 } ∪ [ 1 , 2 ] {\displaystyle \{0\}\cup [1,2]} 의 고립점은 0밖에 없다.
실수선의 부분 공간 { 0 } ∪ { 1 / n : n ∈ Z + } {\displaystyle \{0\}\cup \{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}} 에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.
이산 공간 편집 위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
X {\displaystyle X} 는 이산 공간 이다. X {\displaystyle X} 의 모든 점은 고립점이다.유도 집합(독일어 : abgeleitete Punktmenge )이라는 용어는 게오르크 칸토어 가 1872년에 도입하였다.[1] :129, §2
외부 링크 편집