Insieme chiuso

In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico $(X,{\mathcal {T}})$ :

l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
l'intero insieme $X$ e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su $X$ a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia ${\mathcal {T}}$ degli aperti complementari.

Esempi modifica

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
gli intervalli $[a,b]$ , con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
gli intervalli $[a,+\infty )$ e $(-\infty ,b]$ , con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

gli intervalli $[a,b)$ e $(a,b]$ , con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a $n$ dimensioni. Più in generale l'insieme $S=\{x\in X:d(x,O)\leq R\}$

dove $O$ è un punto dello spazio ed $R$ un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico $(X,d)$ con topologia indotta dalla metrica $d$ .

Proprietà modifica

Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.

Bibliografia modifica

Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
(EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

(EN) closed set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Insieme chiuso, su MathWorld, Wolfram Research.

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