Derivada

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Derivada (homónimos).

A derivada é unha operación realizada ás funcións dentro do cálculo infinitesimal (ou cálculo diferencial e integral) polo cal se busca un cálculo que relacione a variación (aumento o diminución) do valor dependente da función segundo o valor da variable independente, é dicir, canto aumenta y por cada aumento de x. Para que unha función sexa derivable nun punto $x_{a}\,$ ten que ser continua na súa contorna pola dereita e pola esquerda e ter o mesmo límite polos dous lados. Nese caso defínese a derivada coma o resultado de:

$f'(x_{a})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{a}+h)-f(x_{a})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{a}-h)-f(x_{a})}{-h}}\,$

Do mesmo xeito pódese definir o valor da función derivada para calquera punto do dominio de $f(x)\,$ , na cal se expresa o valor da derivada para tódolos puntos continuos do dominio:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x-h)-f(x)}{-h}}\,$

Exemplos da definición

Derivada dunha función polinómica:

$f(x)\,$	$=3x^{2}+2x-6\,\Rightarrow$
$f'(x)\,$	$=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}{\frac {(3(x+h)^{2}+2(x+h)-6)-(3x^{2}+2x-6)}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}{\frac {(3(x^{2}+h^{2}+2xh)+2(x+h)-6)-(3x^{2}+2x-6)}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}{\frac {(3x^{2}+3h^{2}+6xh+2x+2h-6)-(3x^{2}+2x-6)}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}{\frac {3x^{2}+3h^{2}+6xh+2x+2h-6-3x^{2}-2x+6}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}{\frac {3h^{2}+6xh+2h}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}3h+6x+2$
	$=6x+2\,$

Derivada da función logaritmo:

$f(x)\,$	$=\log _{a}x\,\Rightarrow$
$f'(x)\,$	$=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}{\frac {x+h}{x}}}{h}}$
	$=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+(h/x))}{h}}$
	$=\lim _{t\to 0}{\frac {\log _{a}(1+t)}{xt}}$
	$=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}(1+t)^{1/t}$
	$={\frac {1}{x}}\log _{a}e$
	$={\frac {1}{x}}{\frac {1}{\log _{e}a}}$
	$={\frac {1}{x\ln a}}$

Táboa de funcións derivadas

Propiedade	Primitiva	Derivada
Derivada dunha constante	$k\,$	$0\,$
Derivada de x	$x\,$	$1\,$
Derivada de k x	$k\,x\,$	$k\,$
Produto por escalares, xeneralización do anterior	$k\,f(x)\,$	$k\,f'(x)\,$
Derivada dunha suma	$f(x)+g(x)\,$	$f'(x)+g'(x)\,$
Derivada dun produto	$f(x)\,g(x)\,$	$f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)\,$
Derivada dunha división, deducida da do produto	${\frac {f(x)}{g(x)}}$	${\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$
Derivada dunha potencia, deducida da do produto ( $x\in \mathbb {R}$ )	$f(x)^{m}\,$	$m\,f(x)^{m-1}\,f'(x)\,$
Derivada dun logaritmo	$\log _{a}f(x)\,$	${\frac {1}{f(x)\log _{e}(a)}}\,f'(x)$
Derivada dunha exponencial	$a^{f(x)}\,$	$a^{f(x)}\log _{e}a\,f'(x)$
Derivada trigonométrica 1	$\sin f(x)\,$	$\cos f(x)\,f'(x)$
Derivada trigonométrica 2	$\cos f(x)\,$	$-\sin f(x)\,f'(x)$
Derivada trigonométrica 3	$\tan f(x)\,$	$\sec ^{2}f(x)\,f'(x)$
Derivada trigonométrica 4	$\sec f(x)\,$	$\sec f(x)\,\tan f(x)\,f'(x)$
Derivada trigonométrica 5	$\operatorname {cosec} f(x)\,$	$-\operatorname {cosec} f(x)\,\operatorname {cotan} f(x)\,f'(x)$
Derivada trigonométrica 6	$\operatorname {cotan} f(x)\,$	$-\sec ^{2}f(x)\,f'(x)$
Derivada trigonométrica inversa 1	$\arcsin f(x)\,$	${\frac {f'(x)}{\sqrt {1-f^{2}(x)}}}$
Derivada trigonométrica inversa 2	$\arccos f(x)\,$	${\frac {-f'(x)}{\sqrt {1-f^{2}(x)}}}$
Derivada trigonométrica inversa 3	$\arctan f(x)\,$	${\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}$
Derivada trigonométrica inversa 4	$\operatorname {arcsec} f(x)\,$	${\frac {-f'(x)}{1+f^{2}(x)}}$
Derivada trigonométrica inversa 5	$\operatorname {arccosec} f(x)\,$	${\frac {f'(x)}{f(x){\sqrt {f^{2}(x)-1}}}}={\frac {f'(x)}{\sqrt {f^{4}(x)-f^{2}(x)}}}$
Derivada trigonométrica inversa 6	$\operatorname {arccotan} f(x)\,$	${\frac {-f'(x)}{f(x){\sqrt {f^{2}(x)-1}}}}={\frac {-f'(x)}{\sqrt {f^{4}(x)-f^{2}(x)}}}$

Regla da cadea

Regra da cadea para unha función composta:

Se $f(x)=h(g(x))$ , daquela $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).$ ^[1]

Exemplos de aplicación

lim 2x+1= x->2

Utilidade

O uso da derivación ten valido para explicar ou determinar multitude de situacións da física ou da xeometría. Un pequeno exemplo pode ser a seguinte táboa:

Figura	Lonxitude	Superficie	Volume
Círculo & circunferencia	(Circunferencia) $2\pi r\,$	(Círculo) $\pi r^{2}\,$	non procede
Esfera	non procede	$4\pi r^{2}\,$	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,$

onde se pode comprobar que o valor de dimensión espacial N se corresponde coa derivada do valor de dimensión espacial N+1 da mesma figura.

Outro caso na física sería o valor da posición, velocidade e aceleración dunha partícula expresadas en función do tempo, que son cada unha derivada da anterior:

${\begin{matrix}{\text{posición}}&p=&p_{0}+&v_{0}t+&{\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}\\{\text{velocidade}}&v=&&v_{0}+&a_{0}t\\{\text{aceleración}}&a=&&&a_{0}\end{matrix}}$

Véxase tamén

Outros artigos

↑ Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 111–112, 119

[1] Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 111–112, 119

[1]