Elwin Bruno Christoffel

Christoffel Montjoien (gaur eguneko Monschau), Prusian, 1829ko azaroaren 10ean jaio zen. Bere familia oihal-merkatariak ziren. Hasieran, etxean eskolatua, hizkuntzetan eta matematiketan hezi zuten; ondoren, Kolonian, Jesuiten Gymnasiumera eta Koloniako Friedrich-Wilhelms Gymnasiumera bertaratu zen.

1850ean Berlineko unibertsitatera joan zen. Unibertsitatean Matematika ikasi zuen Gustav Dirichlet-ekin (eragin handia izan zuen harengan) ^[1], besteak beste, eta fisikako eta kimikako ikastaroetara joan zen. 1856an Berlinen doktoratu zen gorputz homogeneoetako elektrizitatearen mugimenduari buruzko tesiarekin, Martin Ohm, Ernst Kummer eta Heinrich Gustav Magnus zuzendarien gainbegiratzean idatzia. ^[2]

Doktoretza jaso ondoren, Montjoiera itzuli zen. Bertan, hurrengo hiru urteak komunitate akademikotik isolatuta igaro zituen. Hala eta guztiz ere, matematika ikasten jarraitu zuen, batez ere, fisika matematikoa Bernhard Riemann, Dirichlet eta Augustin-Louis Cauchyren liburuekin. Gainera, bere ikerketa egiten jarraitu zuen, geometria diferentzialeko bi lan argitaratuz. ^[2]

1859an Christoffel Berlinera itzuli zen, bere gaikuntza lortuta eta Privatdozent bihurtuta Berlingo Unibertsitatean. 1862an Dedekindek hutsik utzitako katedra eskaini zioten eta Zuricheko Eskola Politeknikoko katedra izendatu zuten.

Matematikako institutu berri bat antolatu zuen oso estimatua zen gazte erakundean (zazpi urte lehenago sortua). Aldi berean, ikerketa lanak argitaratzen jarraitu zuen eta 1868an, Prusiako Zientzia Akademiako eta Milaneko Istituto Lombardoko kide hautatu zuten. 1869an Christoffel Berlinera itzuli zen, Gewerbe akademian (gaur egun Berlineko Unibertsitate Teknikoaren parte da) irakasle izan zen bitartean, Hermann Schwarz Zurichen jarraitu zion. Hala ere, Gewerbe akademia Berlineko unibertsitatetik oso hurbil zegoenez lehiaketa handia zegoen ikasleak erakartzeko. Ondorioz, Gewerbe akademia ezin izan zuen ikasle nahiko ekarri matematikako ikastaro aurreratuak mantentzeko eta Christoffel Berlinetik berriz joan zen 3 urte igaro ondoren. ^[2]

1872an Christoffel Estrasburgoko Unibertsitateko irakaslea bihurtu zen. Estrasburgoko Unibertsitatea, ehun urteko erakundea, unibertsitate moderno batean berrantolatu zen Frantzia-Prusia gerran Alsazia-Lorrena bereganatu ondoren. Christoffelek, Theodor Reye lankidearekin batera, Estrasburgon matematika departamentu ospetsu bat eraiki zuen. Ikerketak egin eta argitaratu zituen eta  doktoregoko zenbait ikasle izan zituen, besteak beste, Rikitaro Fujisawa, Ludwig Maurer eta Paul Epstein.

1894an Christoffel Estrasburgoko Unibertsitatetik erretiratu zen, eta haren oinordekoa Heinrich Weber izan zen. ^[2] Erretiratu ondoren, lan egiten jarraitu zuen eta era berean, argitalpenak ere egin zituen. Izan ere, azken artikulua hil baino lehen amaitu zuen eta hil ondoren argitaratua izan zen.^[1]

Christoffel 1900eko martxoaren 15ean hil zen Estrasburgon. Ez zen inoiz ezkondu eta ez zuen familiarik utzi. ^[2]

Geometria Diferentziala aldatu

Christoffel geometria diferentzialari egindako ekarpenengatik gogoratzen da batez ere. 1869an n aldagaietako forma diferentzialetarako baliokidetasun-arazoari buruz, artikulu bat argitaratu zuen Crelle’s Journal aldizkarian^[5]. Bertan, funtsezko teknika sartu zuen, ondoren diferentzia kobariantea deitu zen, eta Riemann-Christoffelen tentsorea definitzeko erabili zuen (barietate riemanniarren kurbadura adierazteko metodorik arruntena).

Artikulu horretan Christoffelen ikurrak aipatu zituen ${\displaystyle \Gamma _{kij}}$ eta ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ . Ikur horiek koordenatu lokalen sistema bati lotutako Levi-Civita konexioaren osagaiak adierazten dituzte. Christoffelen ideiak Gregorio Ricci-Curbastro eta bere ikaslea Tullio Levi-Civitak orokortu eta garatu zituzten, hain zuzen ere, tentsoreen eta kalkulu diferentzial absolutuaren kontzeptu bihurtu zituzten. Kalkulu diferentzial absolutuak, ondoren tentsore kalkulua deitua, erlatibitate orokorraren teoriaren oinarri matematikoa osatzen du. ^[2]

Analisi Konplexua aldatu

Christoffelek analisi konplexuan lagundu zuen, non Schwarz – Christoffel kartografia Riemann kartografiaren teoremaren lehen eraikuntza-aplikazio ez tribiala den. Schwarz-Christoffelen mapaketak funtzio eliptikoen teoriarako eta fisikaren arlotarako aplikazio asko ditu. ^[2] Funtzio eliptikoen arloan, integral abeliarrei eta theta funtzioei buruzko emaitzak ere argitaratu zituen.

Analisi Numerikoa aldatu

Christoffelek integraziorako koadratura gaussiarraren metodoa orokortu zuen. Honekin batera, Christoffel-Darboux-en formula ere sartu zuen Legendreko polinomioetarako ^[8] (geroago polinomio ortogonal orokorretarako formula ere argitaratu zuen).

Beste ikerketak aldatu

Christoffelek teoria potentziala eta ekuazio diferentzialen teoria ere landu zituen, baina arlo horietan egin zituen ikerketa asko oharkabean geratu ziren. Ekuazio diferentzial partzialen erantzunetan etenak hedatzeari buruz bi artikulu idatzi zituen. Artikulu horiek talka-uhinen teorian aitzindari izan den lana irudikatzen dute. Fisika ere ikasi zuen eta optikari buruzko ikerketa argitaratu zuen, baina bere ekarpenek berehala galdu zuten erabilgarritasuna, argizagiaren kontzeptua bertan behera utzi zenean. ^[2]

Christoffelen ikurrak bi eratan adierazita daude: lehen motako Christoffelen ikurrak eta bigarren motako Christoffelen ikurrak. Bigarren motako ikurren definizioa sinpleagoa da, orduan lehenengo azalduko da.

Bigarren motako Christoffelen ikurrak (definizio simetrikoa) aldatu

Bigarren motako Christoffelen ikurrak, koordenatu-oinarri batean, Levi-Civita konexioaren konexio-koefizienteak dira. Beste era batean esanda, bigarren motako ikurrak ^[9][10] ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ (batzuetan ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ edo ${\displaystyle \{_{ij}^{k}\}}$ ) ^[5]. ^[9] koefiziente bakarrak bezala definituta daude:

${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},}$

non ${\displaystyle \nabla _{i}}$ Levi-Civita konexioa ${\displaystyle M}$ aldean ${\displaystyle \mathrm {e} _{i}}$   (adib.${\displaystyle \nabla _{i}\equiv \nabla _{ei}}$ ) koordenatu-norabidean hartuta eta ${\displaystyle \mathrm {e} _{i}=\partial _{i}}$ koordenatu lokal (holonomikoa) bat diren.

Konexio honen tortsioa zero denez eta eremu bektore holonomikoak kommutatu egiten direnez (adib. ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}$ ) hurrengoa daukagu:

${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.}$

Horregatik oinarri horretan lotura-koefizienteak simetrikoak dira^[9] :

${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.}$

Horregatik, tortsio gabeko lotura, simetrikoa orokorrean esaten zaio.

Christoffel ikurrak tentsore metrikoaren deribatu kobariantea desagertzean erator daitezke ${\displaystyle g_{ik}}$  :

${\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.}$

Laburpen-notazio gisa, nabla ikurra eta deribatuen sinbolo partzialak erortzen dira maiz, eta, horren ordez, puntu eta koma eta koma erabiltzen dira deribaturako erabiltzen den aurkibidea abiarazteko. Honela, aurrekoa batzuetan honela idazten da:

${\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$

Sinboloak beheko bi indizeetan simetrikoak direla erabiliz, esplizituki ebatzi daiteke Christoffelen ikurrentzat tentsore metrikoaren funtzio gisa, indizeak permutatuz eta berriro bilduz^[11]:

${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}$

non ( ${\displaystyle g^{jk}}$ ) matrizearen (${\displaystyle g_{jk}}$ ) alderantzizkoa den, (Kroneckerren delta, eta Einsteinen notazioa batuketarako erabiliz) honela definitzen da: ${\displaystyle g^{ji}g_{ik}=\delta _{k}^{j}}$ . Christoffelen ikurrak indizedun tentsoreen notazio berean idatzita dauden arren, ez dira tentsoreak bezala koordenatu-aldaketa baten pean eraldatzen.

Tentsore metrikoa objektu intrintsekoa denez, tentsorearen terminoetan deskribatu ahal diren objektuak eta haien deribatuak ere intrintsekoak dira. Tentsore metrikotik erator daitekeen objektu bat Christoffelen sinboloa da. Christoffelen ikurrak oinarrizko bektoreen aldaketa deskribatzen du puntu batetik bestera kurbadura koordenatu sistemetan. Christoffelen ikurrak koordenatu bakoitzetik bereizitako oinarrizko bektore bakoitzaren 𝑛3 deribatu partzialak dira. Christoffelen ikurrak ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ koordenatuen aldagaiekiko kobariantzaren aldaketa-tasa neurtzen dute.

Orokorrean, bektore edo tentsore baten osagaien deribatu partzialak ez dira tentsore baten osagaiak. Christoffelen ikurren kasuan hau gertatzen da, tentsore metrikotik partzialki eratortzen baitira, baina ez dira berez tentsoreak. Kobariantza deribatuak tentsoreak sortzen ditu tentsoreetatik abiatuta.

Antzeko koordenatuetan, kobariantza oinarria berbera da puntu guztietan. Ondorioz, deribatu kobariantea konmutatiboa da. Hala ere, hau ez da gainazal kurbatuen kasuan gertatzen.^[12][13]

Indizeak uzkurtzea aldatu

Goiko indizea beheko edozein indizerekin uzkurtzeak (simetrikoak direnak):

${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}$

Non ${\displaystyle g=\det g_{ik}}$ tentsore metrikoaren determinantea den. Identitate hori bektoreen dibergentzia ebaluatzeko erabil daiteke.

Lehen motako Christoffelen ikurrak aldatu

Lehen motako Christoffelen ikurrak bigarren motako Christoffel ikurretatik eta metrikatik lor daitezke^[11]:

${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}$

edo metrikatik bakarrik, ^[11]

${\displaystyle \Gamma _{cab}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.}$

Notazio alternatibo gisa ere ager daiteke ^{[11][9] [14]}

${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$

Garrantzitsua da aipatzea: ${\displaystyle [ab,c]=[ba,c]}$

Ricci errotazio-koefizienteak (definizio asimetrikoa) aldatu

${\displaystyle \mathbf {X_{i}} \equiv \mathbf {u_{i}} }$ oinarri ortonormala aukeratzen bada: ${\displaystyle g_{ab}\equiv \eta _{ab}=<X_{a}|X_{b}>}$ , orduan ${\displaystyle g_{mk,l}\equiv \eta _{mk,l}=0}$ . Ondorioz,

${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)}$

eta lotura-koefizienteak antisimetriko bihurtzen dira lehenengo bi indizeetan:

${\displaystyle \omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,}$

non

${\displaystyle \omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}$

Kasu honetan, ${\displaystyle \omega _{bc}^{a}}$ konexio-koefizienteei Ricci errotazio-koefizienteak deitzen zaie. ^[15][16]

Era berean, Ricci errotazio koefizienteak honela defini daitezke ^[10]:

${\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,}$

Non ${\displaystyle u_{i}}$ oinarri ortonormalen ez-holonomikoa eta ${\displaystyle \mathbf {u^{k}} =\eta ^{kl}\mathbf {u_{l}} }$ bere ko-oinarria.

Schwarz – Christoffel kartografia edo mapaketa, poligono sinple baten barnean dagoen goiko plano erdiaren edo unitate disko konplexuaren mapa konformal bat da. Mapa hori Riemannen kartografiaren teoremak bermatzen du (Bernhard Riemannek 1851n adierazia); Schwarz – Christoffel formulak eraikuntza esplizitu bat eskaintzen du.

Schwarz – Christoffel mapaketa teoria potentzialean eta bere aplikazioetako batzuetan erabiltzen dira, azalera minimoak, arte hiperbolikoa eta fluidoen dinamika barne.

Definizioa aldatu

Izan bedi poligono bat plano konplexuan. Riemannen kartografiaren teoremak esan nahi du plano erdiaren kartografia biholomorfiko bat dagoela.

${\displaystyle \{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \zeta >0\}}$

poligonoaren barrualdera. f funtzioak poligonoaren ertzetaraino marrazten du benetako ardatza. Poligonoak barneko angeluak ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }$ baditu, orduan kartografia hau honela ematen da:

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,\mathrm {d} w}$

Non ${\displaystyle K}$   konstante bat den. Eta eta ${\displaystyle a<b<c<\cdots }$ ${\displaystyle z}$ planoko poligonoko erpinei dagozkien puntuen balioak dira ${\displaystyle \zeta }$ planoaren ardatz errealean zehar. Forma horretako transformazio bati Schwarz – Christoffel kartografia deitzen zaio.^[17][18][19]

Uhin batek hurrengo forma du:

${\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ unitate-luzerarekin. Uhin-ekuazioaren soluzio bat da, zero indarrarekin, baldin eta soilik baldin ${\displaystyle w^{2}}$ eta ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ eragile aljebraiko akustikoaren autobalio/autobektore bikotea badira.

${\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.}$

Hedapen-baldintza hori (Christoffel ekuazioa bezala ere ezagutzen da) honela idatz daiteke:

${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}}$

non ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$ hedapen-norabidea eta ${\displaystyle c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$ fase-abiadura adierazten duten.^[21]

Christoffel – Darboux formula polinomio ortogonalen sekuentzia baterako identitate matematikoa da. Elwin Bruno Christoffelek (1858) eta Jean Gaston Darbouxek (1878) aurkeztu zuten. Identitatearen arabera,

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}(x)f_{j}(y)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {f_{n}(y)f_{n+1}(x)-f_{n+1}(y)f_{n}(x)}{x-y}}}$

${\displaystyle f_{j}(x)}$ ${\displaystyle h_{j}}$ norma karratuko eta ${\displaystyle k_{j}}$ koefiziente nagusiko polinomio ortogonalen multzo baten ${\displaystyle j}$ th terminoa da. Identitate horren "forma konfluente" bat dago ${\displaystyle y\to x}$ muga hartzen bada:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}^{2}(x)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}\left[f_{n+1}'(x)f_{n}(x)-f_{n}'(x)f_{n+1}(x)\right].}$ ^[22]

Geometria diferentzialean, Riemann – Christoffel tentsorea (Bernhard Riemann eta Elwin Bruno Christoffelen ondoren)  edo hobeto ezaguna Riemann kurbadura tentsorea, manifestu riemannarren kurbadura adierazteko modurik arruntena da. Riemanniar espazioa baten puntu bakoitzari tentsore bat ematen dio (hau da, tentsore-eremu bat da). Riemanniar metriken inbaditzaile lokal bat da, bigarren deribatu kobarianteen konmutazioaren gatazka neurtzen duena. Riemanniar espazioa, laua bada, zero kurbadura du, hau da, euklidear espazioarekiko tokiko isometrikoa bada.^[23]

Erlatibitate orokorra teoriaren funtsezko tresna matematikoa da. Espazio-denboraren kurbadura, printzipioz, desbideratze geodesikoaren ekuazioaren bidez ikus daiteke. Kurbadura tentsoreak, geodesiko batean zehar mugitzen den gorputz zurrun batek bizi duen itsasaldi indarra irudikatzen du, Jacobiren ekuazioak zehaztutako zentzuan.

Definizioa aldatu

Izan bedi ${\displaystyle (M,g)}$ Riemanniar edo pseudo-Riemanniar espazioa, eta ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ bektore-eremu guztien espazioa M den. Riemannen kurbadura-tentsorea mapa gisa definitzen dugu ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)}$ hurrengo formula ^[23] erabiliz, non ${\displaystyle \nabla }$ Levi-Civita konexioa den:

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$

edo modu baliokidean:

${\displaystyle R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}}$ ,

non ${\displaystyle [X,Y]}$ Zelai bektorialen euskarri faltsua eta ${\displaystyle [\nabla _{X},\nabla _{Y}]}$ operadore diferentzialen kommutadorea diren. Eskuineko aldea ${\displaystyle X,Y,Z}$ eremu bektorialen balioaren mende baino ez dagoepuntu jakin batean. Hori nabarmena da, eremu bektorial baten deribatu kobariantea puntuaren albo bateko eremuaren balioen mende baitago. Orduan, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (1,3)}$ tentsore eremua da. ${\displaystyle X,Y}$ koordenatuentzako transformazio lineala ${\displaystyle Z\mapsto R(X,Y)Z}$ kurbaduraren eraldaketa edo endomorfismoa ere esaten zaio. Batzuetan, kurbadura tentsorea kontrako zeinuarekin definitzen da. Kurbadura tentsoreak deribatu kobariantearen ez-kommutatibotasuna neurtzen du, eta hori gertzatzen denean espazio euklidearrarekin (testuinguru honetan espazio laua esaten zaio) isometria bat existitzeko integragarritasun oztopoa da. Levi-Civita konexioa tortsio gabea denez, kurbadura bigarren deribatu kobariantearen terminoetan ere adieraz daiteke^[24]

${\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{\nabla _{X}Y}Z}$

eta

${\displaystyle R(X,Y)=\nabla _{X,Y}^{2}-\nabla _{Y,X}^{2}}$

Horrela kurbadura tentsoreak bigarren deribatu kobariantearen ez-kommutatibotasuna neurtzen du. Notazio indize abstraktuan,

${\displaystyle R^{d}{}_{cab}Z^{c}=\nabla _{a}\nabla _{b}Z^{d}-\nabla _{b}\nabla _{a}Z^{d}.}$

Riemann kurba tentsorea ${\displaystyle A_{\nu }}$ kobektore arbitrarioa, bere buruarekin, deribatu kobariantearen kommutadorea da :^[25][26]

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }.}$

Formula hori Ricci-ren identitatea deitzen da.^[27] Riccik eta Levi-Civitak Riemann kurbadura tentsorearentzako adierazpen bat lortzeko erabili zuten metodo klasikoa da.^[28] Identitate hau orokortu daiteke tentsore arbitrarioen bi kobariante lortzeko:^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla _{\delta }\nabla _{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\nabla _{\gamma }\nabla _{\delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\ldots +R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}}$

Formula hau aldaketarik gabeko dentsitate tentsoreei ere aplikatzen zaie, Levi-Civitarentzat (ez generikoarentzat) lotura bat lortzen da:^[27]

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left({\sqrt {g}}\right)\equiv \left({\sqrt {g}}\right)_{;\mu }=0,}$

non ${\displaystyle g=\left|\det \left(g_{\mu \nu }\right)\right|.}$

Batzuetan komenigarria da kurba tentsorearen bertsio kobariante hutsa ere definitzea:

${\displaystyle R_{\sigma \mu \nu \rho }=g_{\rho \zeta }R^{\zeta }{}_{\sigma \mu \nu }.}$

• Christoffel, E. B. (1858). "Über die Gaußische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German). 1858 (55): 61–82. doi:10.1515/crll.1858.55.61. ISSN 0075-4102. S2CID 123118038
• Christoffel, E.B. (1869). "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 70. 2015eko urriaren 6an berreskuratua.
• Gesammelte Mathematische Abhandlungen. Leipzig: B. G. Teubern. 1910. 2 liburuki, Ludwig Maurer editatua, Adolf Krazer and Georg Faber;^[30] Erster Band, Zweiter Band-en laguntzarekin (Service Commun de Documentation de l'Université Louis Pasteur, Estrasburgo).

Christoffel zenbait akademiatako kide hautatu zuten:

• Prusiako Zientzia Akademiako (1868)
• Istituto Lombardo (1868)
• Göttingeneko Zientzien Akademia (1869)

Prusiako Erresumak Christoffeli bi sari eman zizkion:

• Arrano Gorriaren ordena, 3. Brankadun klasea (Schleife) (1893)
• Bigarren mailako koroaren ordena (1895)