Πλήρες διατεταγμένο σώμα

Θεωρούμε ένα σύνολο ${\displaystyle \ A\subset \mathbb {R} }$ διάφορο του κενού και άνω φραγμένο.Τότε αυτό διαθέτει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα ${\displaystyle \ S}$ , ήτοι,

• Υπάρχει ${\displaystyle \ S}$ (μοναδικό) ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:
  • ${\displaystyle t\leq S}$ για κάθε ${\displaystyle t\in A}$
  • Αν ${\displaystyle t\leq M}$ για κάθε ${\displaystyle t\in A}$ τότε ${\displaystyle S\leq M}$

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος είναι ισοδύναμη με δυο άλλες ιδιότητες,οι οποίες μερικές φορές αναφέρονται ως ο ορισμός της πληρότητας του ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Η ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy Επεξεργασία

Αν ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ είναι μια πραγματική ακολουθία Κωσύ τότε συγκλίνει.

Η ιδιότητα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων Επεξεργασία

Αν ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ είναι μια ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων (ήτοι, ${\displaystyle L_{i+1}\subset L_{i}}$ ) τα μήκη των οποίων τείνουν στο μηδέν,τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο ${\displaystyle \ x_{0}}$ τέτοιο ώστε ${\displaystyle x_{0}\in L_{i}}$ για κάθε φυσικό αριθμό ${\displaystyle \ i}$ .

Παρατηρούμε ότι το σύνολο ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ δεν είναι πλήρες.Επί παραδείγματι,ας θεωρήσουμε το σύνολο ${\displaystyle S=\left\{{\begin{matrix}q\in \mathbb {Q} \end{matrix}}:q^{2}<2\right\}}$ .Το ${\displaystyle \ S}$ είναι εκ των άνω φραγμένο από το 3 που είναι ρητός,αλλά δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα,γιατί αν είχε,θα έπρεπε να ισούται με το ελάχιστο άνω φράγμα του ${\displaystyle \mathbb {R} }$ δηλαδή τον άρρητο αριθμό ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ .

• Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The Fundamental Theorem Of Algebra (1997)