Satz von Lüroth

Sei ${\displaystyle L}$ eine rein transzendente Erweiterung des Körpers ${\displaystyle K}$ vom Transzendenzgrad 1. Ist ${\displaystyle P}$ ein Zwischenkörper, der von ${\displaystyle K}$ verschieden ist, so ist ${\displaystyle P}$ ebenfalls rein transzendent vom Transzendenzgrad 1. Insbesondere ist ${\displaystyle P}$ isomorph zu ${\displaystyle L}$ .

Ein allgemeingültiger Beweis dazu findet sich in ^[2].

Äquivalent kann man den Satz von Lüroth auch so formulieren: Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle L=K(x)}$ der Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle K}$ , also der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle K[x]}$ . Ist ${\displaystyle P}$ ein Zwischenkörper, der von ${\displaystyle K}$ verschieden ist, so ist ${\displaystyle P=K(t)}$ für ein Element ${\displaystyle t}$ von ${\displaystyle L}$ . Dieses Element ${\displaystyle t}$ ist immer transzendent über ${\displaystyle K}$ , wohingegen ${\displaystyle L}$ immer algebraisch über ${\displaystyle P}$ ist.

Eine weitere äquivalente Formulierung in der Sprache der algebraischen Geometrie besagt, dass unirationale Kurven rational sind.

Die Frage, ob der Satz von Lüroth auch für Körper vom Transzendenzgrad größer als Eins gilt, ist als Lüroth-Problem bekannt. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Ein Überblick über Teilergebnisse und Gegenbeispiele findet sich in dem unten zitierten Buch Basic Algebra II von Nathan Jacobson.^[3]

1. ↑ J. Lüroth: Beweis eines Satzes über rationale Curven, Math. Ann. 9 (1875), 163–165.
2. ↑ "Algebraische Theorie der Körper" (1910) von Ernst Steinitz (Seite 302).
3. ↑ N. Jacobson: Basic Algebra II (2nd. ed.), W. H. Freeman, San Francisco, 1989, Sec. 8.14, pp. 520–525