Normála daného n −1 dimenzionálního podprostoru v n -dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor . V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku , v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu .
Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n −1 rozměrných útvarů – tzv. nadploch . Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.
Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce . V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor , např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu .
Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě. Je-li rovina dána rovnicí a x + b y + c z + d = 0 {\displaystyle ax+by+cz+d=0} , potom je její normálový vektor n roven ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} .
Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi
x = x ( r , s ) , {\displaystyle x=x(r,s),\,} y = y ( r , s ) , {\displaystyle y=y(r,s),\,} z = z ( r , s ) , {\displaystyle z=z(r,s),\,} potom je vektor normály až na znaménko udán jako
n = ∂ r ∂ r × ∂ r ∂ s = | ∂ x ∂ r , ∂ y ∂ r , ∂ z ∂ r ∂ x ∂ s , ∂ y ∂ s , ∂ z ∂ s e 1 , e 2 , e 3 | , {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}},&{\frac {\partial y}{\partial r}},&{\frac {\partial z}{\partial r}}\\{\frac {\partial x}{\partial s}},&{\frac {\partial y}{\partial s}},&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\\mathbf {e} _{1},&\mathbf {e} _{2},&\mathbf {e} _{3}\end{matrix}}\right|,} což má přímé zobecnění v n -rozměrném prostoru:
n = | ∂ x 1 ∂ p 1 , … , ∂ x n ∂ p 1 … , … , … ∂ x 1 ∂ p n − 1 , … , ∂ x n ∂ p n − 1 e 1 , … , e n | , {\displaystyle \mathbf {n} =\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}},&\dots ,&{\frac {\partial x_{n}}{\partial p_{1}}}\\\dots ,&\dots ,&\dots \\{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{n-1}}},&\dots ,&{\frac {\partial x_{n}}{\partial p_{n-1}}}\\\mathbf {e} _{1},&\dots ,&\mathbf {e} _{n}\end{matrix}}\right|,} kde p 1 , … , p n − 1 {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n-1}} jsou parametry plochy.
Je-li plocha dána jako množina bodů ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} splňujících rovnici : F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} , potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F :
n = ∇ F ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)} .
Všechny přímky , které prochází daným bodem křivky r = r ( s ) {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (s)} , kde s {\displaystyle s} je oblouk křivky , a jsou kolmé na tečný vektor t {\displaystyle \mathbf {t} } v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.
Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem d t d s {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}} .
Jednotkový vektor n {\displaystyle \mathbf {n} } , který má stejný směr jako vektor d t d s {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}} , se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály . Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí d 2 t d s 2 ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {t} }{\mathrm {d} s^{2}}}\neq 0} .
Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako
n = 1 k 1 d t d s = 1 k 1 d 2 r d s 2 {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}} ,kde k 1 {\displaystyle k_{1}} je tzv. první křivost .
Vektory t {\displaystyle \mathbf {t} } a n {\displaystyle \mathbf {n} } jsou vzájemně kolmé , tzn. t ⋅ n = 0 {\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =0} .
Pokud parametrem křivky není její oblouk s {\displaystyle s} , ale obecný parametr t {\displaystyle t} , tzn. křivka je dána rovnicí r = r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)} , pak je jednotkový normálový vektor n {\displaystyle \mathbf {n} } dán vztahem
n = d 2 r d t 2 c + d r d t d c d t ( d 2 r d t 2 c + d r d t d c d t ) ⋅ ( d 2 r d t 2 c + d r d t d c d t ) {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\right)}}}} ,kde c = 1 d r d t ⋅ d r d t = 1 d s d t {\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}}}={\frac {1}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}} pokud platí d 2 r d t 2 ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\neq 0} a d 2 r d t 2 c + d r d t d c d t ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\neq 0} .
Související články editovat