Aquesta és una llista de transformacions canòniques de coordenades .
Siguin (x, y) les coordenades cartesianes estàndard, i r i θ los coordenades polars estàndard.
Per passar de coordenades polars a coordenades cartesianes modifica x = r cos θ {\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad } y = r sin θ {\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad } ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = ( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ) {\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}} det ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r {\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r} Per passar de coordenades cartesianes a coordenades polars modifica r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} θ ′ = arctan | y x | {\displaystyle \theta ^{\prime }=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|} Nota: al resoldre θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} 0 < θ < π 2 {\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}} θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta }
Si θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} θ = θ ′ {\displaystyle \theta =\theta ^{\prime }} Si θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} θ = π − θ ′ {\displaystyle \theta =\pi -\theta ^{\prime }} Si θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} θ = π + θ ′ {\displaystyle \theta =\pi +\theta ^{\prime }} Si θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} θ = 2 π − θ ′ {\displaystyle \theta =2\pi -\theta ^{\prime }} Això cal fer-hi així perquè per a tots els valors de θ {\displaystyle \theta } arctan θ {\displaystyle \arctan \theta } − π 2 < θ < + π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}}
Fixeu-vos que també es pot fer servir
r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} θ = 2 arctan y x + r {\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {y}{x+r}}} De coordenades bipolars a coordenades cartesianes modifica x = a sinh τ cosh τ − cos σ {\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} y = a sin σ cosh τ − cos σ {\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} De coordenades bipolars de dos centres a coordenades cartesianes[1] modifica x = r 1 2 − r 2 2 4 c {\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}} y = ± 1 4 c 16 c 2 r 1 2 − ( r 1 2 − r 2 2 + 4 c 2 ) 2 {\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}} De coordenades bipolars de dos centres a coordenades polars modifica r = r 1 2 + r 2 2 − 2 c 2 2 {\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}} θ = arctan [ 8 c 2 ( r 1 2 + r 2 2 − 2 c 2 ) r 1 2 − r 2 2 − 1 ] {\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]} On 2c és la distància entre els pols.
De coordenades de l'equació de Cesàro a coordenades cartesianes modifica x = ∫ cos [ ∫ κ ( s ) d s ] d s {\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds} y = ∫ sin [ ∫ κ ( s ) d s ] d s {\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds} Curvatura i longitud de l'arc a partir de coordenades cartesianes modifica κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}}
s = ∫ a t x ′ 2 + y ′ 2 d t {\displaystyle s=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}
Curvatura i longitud de l'arc a partir de coordenades polars modifica κ = r 2 + 2 r ′ 2 − r r ″ ( r 2 + r ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}}
s = ∫ a ϕ 1 + y ′ 2 d ϕ {\displaystyle s=\int _{a}^{\phi }{\sqrt {1+y'^{2}}}\,d\phi }
Sigui (x, y, z) les coordenades cartesianes estàndard, i (ρ, θ, φ) les coordenades esfèriques, amb l'angle φ mesurat a partir de l'eix Z positiu. Com que θ té un recorregut de 360° cal aplicar les mateixes consideracions que en coordenades polars (de dues dimensions) sempre que es calculi a partir de la funció arctangent . φ té un recorregut de 180°, i va des de 0° fins a 180°, i no presenta cap problema quan es calcula a partir de la funció arccosinus , però cal anar amb compte si es fa servir una funció arctangent. Si, en la definició alternativa de coordenades esfèriques, es tria φ de forma que vagui des de −90° fins a +90°, en direcció oposada a la direcció prèvia, es pot calcular de manera única a partir de la funció arcsinus , però cal anar amb compte di es fa servir l'arctangent. En aquest cas totes les fórmules següents tots els arguments de φ han te tenir el sinus i el cosinus intercanviats i com a derivades també els signes menys i més s'han d'intercanviar.
Totes les fórmules que portin cap a una fracció amb zero al denominador, corresponen a casos especials de direccions al llarg dels eixos principals i a la pràctica se solucionen més fàcilment per observació.
A coordenades cartesianes modifica A partir de coordenades esfèriques modifica x = ρ sin θ cos ϕ {\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \phi \quad } y = ρ sin θ sin ϕ {\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \phi \quad } z = ρ cos θ {\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta \quad } ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , ϕ ) = ( sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ − ρ sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ cos θ − ρ sin θ 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}} Per tant, l'element de volum és:
d x d y d z = det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , ϕ ) d ρ d θ d ϕ = ρ 2 sin θ d ρ d θ d ϕ {\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}d\rho \;d\theta \;d\phi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\phi \;} = A partir de coordenades cilíndriques modifica x = r cos θ {\displaystyle {x}={r}\,\cos \theta } y = r sin θ {\displaystyle {y}={r}\,\sin \theta } z = h {\displaystyle {z}={h}\,} ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , h ) = ( cos θ − r sin θ 0 sin θ r cos θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}} Per tant l'element de volum és:
d x d y d z = det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , h ) d r d θ d h = r d r d θ d h {\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}dr\;d\theta \;dh={r}\;dr\;d\theta \;dh\;} A coordenades esfèriques modifica A partir de coordenades cartesianes modifica ρ = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} θ = arctan ( x 2 + y 2 z ) = arccos ( z x 2 + y 2 + z 2 ) {\displaystyle {\theta }=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)} ϕ = arctan ( y x ) = arccos ( x x 2 + y 2 ) = arcsin ( y x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}
∂ ( ρ , θ , ϕ ) ∂ ( x , y , z ) = ( x ρ y ρ z ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − ( x 2 + y 2 ) ρ 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}} A partir de coordenades cilíndriques modifica ρ = r 2 + h 2 {\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}} θ = θ {\displaystyle {\theta }=\theta \quad } ϕ = arctan r h {\displaystyle {\phi }=\arctan {\frac {r}{h}}} ∂ ( ρ , θ , ϕ ) ∂ ( r , θ , h ) = ( r r 2 + h 2 0 h r 2 + h 2 0 1 0 − h r 2 + h 2 0 r r 2 + h 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\0&1&0\\{\frac {-h}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\end{pmatrix}}} det ∂ ( ρ , θ , ϕ ) ∂ ( r , θ , h ) = 1 r 2 + h 2 {\displaystyle \det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}} A coordenades cilíndriques modifica A partir de coordenades cartesianes modifica r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} θ = arctan y x + π u 0 ( − x ) sgn y {\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y} h = z {\displaystyle h=z\quad } ∂ ( r , θ , h ) ∂ ( x , y , z ) = ( x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}} A partir de coordenades esfèriques modifica r = ρ sin ϕ {\displaystyle r=\rho \sin \phi \,} θ = θ {\displaystyle \theta =\theta \,} h = ρ cos ϕ {\displaystyle h=\rho \cos \phi \,} ∂ ( r , θ , h ) ∂ ( ρ , θ , ϕ ) = ( sin ϕ 0 ρ cos ϕ 0 1 0 cos ϕ 0 − ρ sin ϕ ) {\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &0&\rho \cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{pmatrix}}} det ∂ ( r , θ , h ) ∂ ( ρ , θ , ϕ ) = − ρ {\displaystyle \det {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}=-\rho } Element de longitud de l'arc, curvatura i torsió a partir de coordenades cartesianes modifica s = ∫ 0 t x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 d t {\displaystyle s=\int _{0}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,dt} κ = ( z ″ y ′ − z ′ y ″ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-z'y'')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}} τ = z ‴ ( x ′ y ″ − y ′ x ″ ) + z ″ ( x ‴ y ′ − x ′ y ‴ ) + z ′ ( x ″ y ‴ − x ‴ y ″ ) ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) ( x ″ 2 + y ″ 2 + z ″ 2 ) {\displaystyle \tau ={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}}
↑ Weisstein, Eric W.. "Bipolar Coordinates." Treasure Troves . 26 May 1999. Sociology and Anthropology China. 14 Feb 2007 «bbs.sachina.pku.edu.cn ». Arxivat de l'original el 2007-12-12. [Consulta: 30 setembre 2008]. 
![{\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010a0c267d31acc3d2a743ad7a94ee3e2efaacf9)
![{\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cff907588352a0c15c8e8ecb7e972c745f378f)
![{\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71982132e04a316224eeb7859edb3ae157a2f402)
