Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду ) — матэматычная функцыя , якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў . Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама Γ(z ) .
Гама-функцыя Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай Першаадкрывальнік Леанард Эйлер [1] Формула, якая апісвае закон або тэарэму Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left(z\right)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t} [2] [3] Пазначэнне ў формуле Γ ( z ) {\displaystyle \operatorname {\Gamma } (z)} , ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} і e {\displaystyle \mathrm {e} } Медыяфайлы на Вікісховішчы
Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці Для натуральных n справядліва роўнасць:
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогай збежнага неўласцівага інтэграла :
Γ ( t ) = ∫ 0 ∞ x t − 1 e − x d x . {\displaystyle \Gamma (t)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x}\,dx.} Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы ). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.
Была ўведзена Леанардам Эйлерам , а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру .
Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай Інтэгральнае азначэнне правіць Калі рэчаісная частка камплекснага ліку z {\displaystyle z} дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл
Γ ( z ) = ∫ 0 + ∞ t z − 1 e − t d t , z ∈ C : R e ( z ) > 0 {\displaystyle ~\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} :\mathrm {Re} (z)>0} На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle ~\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).} Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля
Γ ( z ) = 1 e i 2 π z − 1 ∫ L t z − 1 e − t d t , z ∈ C ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } . {\displaystyle ~\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi {\mathrm {z} }}-1}}\int \limits _{L}\!t^{{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.} дзе контур L {\displaystyle L} — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт t = 0 {\displaystyle t=0} супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.
Наступныя выразы з’яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.
Яно вернае для ўсіх камплексных z {\displaystyle z} , за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў
Γ ( z ) = lim n → ∞ n ! n z z ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + n ) , z ∈ C ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } . {\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.} Γ ( z ) = 1 z ( ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 1 n ) z ( 1 + z n ) − 1 ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 1 n ) z 1 + z n , z ∈ C ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } . {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\left(\prod \limits _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{z}{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}^{-1}\right)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.} Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n , z ∈ C ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \},} дзе γ = lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln n ) ≈ 0 , 57722 {\displaystyle \gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722} — пастаянная Эйлера — Маскероні .
Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна , калі рэчаісная частка камплекснага ліку z {\displaystyle z} дадатна. Прымяняючы інтэграванне па частках , можна паказаць, што тоеснасць Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)} справядліва для падынтэгральнага выразу. Паколькі Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} , для ўсіх натуральных лікаў n {\displaystyle n} Γ ( n + 1 ) = n ⋅ Γ ( n ) = … = n ! ⋅ Γ ( 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\cdot \Gamma (n)=\ldots =n!\cdot \Gamma (1)=n!} Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} з’яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах z = 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … {\displaystyle z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots } Звязаныя азначэнні правіць
Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя , якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам: Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).} У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю , якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў: Γ ( a , z ) = ∫ z ∞ t a − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (a,z)=\int \limits _{\mathrm {z} }^{\infty }{t^{a-1}e^{-t}\,dt},} і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:
γ ( a , z ) = ∫ 0 z t a − 1 e − t d t . {\displaystyle \gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }{t^{a-1}e^{-t}\,dt}.}
Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці. Формула дапаўнення Эйлера: Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin π z . {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}.} З яе вынікае формула памнажэння Гауса be en : Γ ( z ) Γ ( z + 1 n ) … Γ ( z + n − 1 n ) = n 1 2 − n z ⋅ ( 2 π ) n − 1 2 Γ ( n z ) , {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\ldots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),} якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра: Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!} Гама-функцыя мае полюс у z = − n {\displaystyle z=-n} для любога натуральнага n {\displaystyle n} і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так: Res z = − n Γ ( z ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=-n}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.} Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас , верна для ўсіх камплексных z {\displaystyle z} , акрамя недадатных цэлых лікаў: Γ ( z ) = e − γ z z ∏ k = 1 ∞ ( 1 + z k ) − 1 e z / k , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{z/k},} дзе γ {\displaystyle \gamma } — пастаянная Эйлера — Маскероні . Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння: Γ ( z ) ¯ = Γ ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})} . Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і Γ ′ ( x ) = ψ ( x ) Γ ( x ) , {\displaystyle \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x),} дзе ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй . Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі: B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.} Асобныя значэнні правіць Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента: Γ ( 1 2 ) = π . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.} Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 / 2 A G M ( 2 , 1 ) , {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{3/2}}{AGM({\sqrt {2}},1)}}},} дзе AGM (x , y ) — сярэдняе арыфметыка-геаметрычнае (англ.) ( бел. лікаў x і y . Γ ( 3 2 ) = π 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = π ⋅ [ ( n − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]} Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π / [ ( − 1 2 n ) n ! ] {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]} Зноскі Купцов Л. П. Гамма-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М .: Советская энциклопедия. — Т. 1.