Как проверить принцип неопределенности для квантового гармонического осциллятора

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Решение для основного состояния

Ожидаемые значения

Проверка принципа неопределенности

Дополнительные статьи

Квантовый гармонический осциллятор представляет собой квантовый аналог классического гармонического осциллятора. Рассмотрим основное состояние и определим для него ожидаемые значения координаты и импульса, а также проверим, выполняется ли принцип неопределенности.

Шаги

Часть 1

Часть 1 из 3:

Решение для основного состояния

Загрузить PDF

1. 1
   Вспомним уравнение Шредингера. Это дифференциальное уравнение в частных производных является основным уравнением движения в квантовой механике, оно описывает, как квантовое состояние (волновая функция $\psi$) изменяется со временем. ${\hat {H}}$ обозначает гамильтониан — оператор энергии, который описывает полную энергию системы.

   • $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi$
2. 2
   Запишем гамильтониан гармонического осциллятора. Несмотря на то что координата и импульс замещаются соответствующими операторами, выражение напоминает сумму кинетической и потенциальной энергии для классического гармонического осциллятора. Так как мы рассматриваем физическое пространство, оператор координаты имеет вид ${\hat {x}}=x,$ а оператор импульса записывается как ${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}.$

   • ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}$
3. 3
   Запишем не зависящее от времени уравнение Шредингера. Поскольку гамильтониан не зависит явно от времени, решениями такого уравнения будут стационарные состояния. Не зависящее от времени уравнение Шредингера является характеристическим уравнением, поэтому его решение позволяет получить собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции, которые являются волновыми функциями.

   • $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi$
4. 4
   Решим дифференциальное уравнение. Это дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, и его непросто решить элементарными способами. Тем не менее, после нормализации мы можем записать решение для основного состояния. При этом следует помнить, что данное решение описывает одномерный осциллятор.

   • $\psi (x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)$
   • Это гауссиан с центром в точке $x=0.$ Обратим внимание, что данная функция является четной — это облегчит расчеты в следующем разделе.
   Реклама

Часть 2

Часть 2 из 3:

Ожидаемые значения

Загрузить PDF

1. 1
   Вспомним выражение для неопределенности. С математической точки зрения неопределенность измеряемой величины, например координаты, является стандартным (среднеквадратичным) отклонением. То есть необходимо найти среднее, взять каждое значение, вычесть его из среднего, возвести полученные величины в квадрат, сложить их и извлечь квадратный корень.

   • $\sigma _{x}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}}}$
2. 2
   Найдем $$ ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle } . Поскольку функция является четной, из соображений симметрии можно заключить, что $\langle x\rangle =0.$

   • Если посмотреть на интеграл, который необходимо оценить, то можно заметить, что под знаком интеграла стоит нечетная функция, так как произведение нечетной и четной функций дает нечетную функцию.
     • $\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }x|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x$
   • Одним из свойств нечетных функций является то, что для каждого положительного значения функции существует "двойник" (соответствующее отрицательное значение), и они взаимно сокращаются. Поскольку мы оцениваем интеграл вдоль всей оси $x$, можно без вычислений заключить, что он равен 0.
3. 3
   Найдем $$ ⟨ x 2 ⟩ {\displaystyle \langle x^{2}\rangle } . Поскольку решение записывается в виде непрерывной волновой функции, мы должны использовать приведенный ниже интеграл. Этот интеграл описывает математическое ожидание $x^{2}$, проинтегрированное по всему пространству.

   • $\langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x$
4. 4
   Подставим в интеграл волновую функцию и упростим выражение. Мы знаем, что волновая функция является четной функцией. Квадрат четной функции также является четной функцией, поэтому можно добавить множитель 2 и изменить нижний предел интегрирования на 0.

   • $\langle x^{2}\rangle =2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp \left(-{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}\right)\mathrm {d} x$
5. 5
   Оценим интеграл. Во-первых, произведем замену переменных $\alpha ={\frac {m\omega }{\hbar }}.$ Затем, вместо того чтобы интегрировать по частям, используем гамма-функцию.

   • ${\begin{aligned}\langle x^{2}\rangle &=2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-\alpha x^{2}}\mathrm {d} x,\ \ u=\alpha x^{2}\\&=2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{\alpha }}e^{-u}\mathrm {d} u{\frac {1}{2\alpha x}},\ \ x={\sqrt {\frac {u}{\alpha }}}\\&=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\alpha ^{-3/2}\int _{0}^{\infty }u^{1/2}e^{-u}\mathrm {d} u\\&=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\left({\frac {m\omega }{\hbar }}\right)^{-3/2}\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right),\ \ \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\\&={\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\\&={\frac {\hbar }{2m\omega }}\end{aligned}}$
6. 6
   Итак, теперь мы можем оценить неопределенность координаты. Если мы вспомним соотношение, записанное в первом шаге, то сразу же получим выражение для $\sigma _{x}$.

   • $\sigma _{x}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}$
7. 7
   Найдем $$ ⟨ p ⟩ {\displaystyle \langle p\rangle } . В среднем положении из соображений симметрии можно заключить, что $\langle p\rangle =0.$
8. 8
   Вычислим $$ ⟨ p 2 ⟩ {\displaystyle \langle p^{2}\rangle } . Вместо того чтобы использовать волновую функцию и проводить вычисления напрямую, можно упростить задачу с помощью энергии. Энергия основного состояния гармонического осциллятора записывается в следующем виде:

   • $E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$
9. 9
   Соотнесем энергию основного состояния с кинетической и потенциальной энергией частицы. Мы ожидаем, что это соотношение будет справедливо не только для любой координаты и любого импульса, но и для их математических ожиданий.

   • ${\frac {1}{2}}\hbar \omega ={\frac {\langle p^{2}\rangle }{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\langle x^{2}\rangle$
10. 10
    Решим относительно $$ ⟨ p 2 ⟩ {\displaystyle \langle p^{2}\rangle } .

    • $m\hbar \omega =\langle p^{2}\rangle +m^{2}\omega ^{2}{\frac {\hbar }{2m\omega }}$
    • $\langle p^{2}\rangle ={\frac {m\hbar \omega }{2}}$
11. 11
    Получаем величину неопределенности для импульса.

    • $\sigma _{p}={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}$
    Реклама

Часть 3

Часть 3 из 3:

Проверка принципа неопределенности

Загрузить PDF

1. 1
   Вспомним принцип неопределенности Гейзенберга для координат и импульса. Принцип неопределенности является фундаментальным ограничением, накладываемым на точность, с которой мы можем одновременно измерять две величины, например координаты и импульс частицы. Более подробное обсуждение этого принципа приведено в разделе "Советы".

   • $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$
2. 2
   Подставим неопределенности для квантового гармонического осциллятора.

   • ${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}{\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}&\geq {\frac {\hbar }{2}}\\{\frac {\hbar }{2}}&\geq {\frac {\hbar }{2}}\end{aligned}}$
   • Полученные результаты согласуются с принципом неопределенности. Фактически, знак равенства выполняется лишь в основном состоянии — для возбужденных состояний с более высокими значениями энергии неопределенности координаты и импульса возрастают.
   Реклама

Советы

• Есть два способа объяснить то, почему существует принцип неопределенности.
  • С точки зрения волновой механики, выражения волновых функций через координаты и импульсы представляют собой взаимные преобразования Фурье. Одним из свойств преобразования Фурье является то, что функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно иметь хорошо локализованный вид.
  • Простым примером служит преобразование Фурье прямоугольной функции. По мере уменьшения ширины прямоугольника (то есть роста локализации функции) преобразование Фурье (функция sinc) становится все ниже и шире. В предельном случае дельта-функции Дирака, когда ширина стремится к нулю (предельная локализация), преобразование Фурье становится константой (бесконечная неопределенность).
  • Второй способ заключается в том, чтобы рассмотреть принцип неопределенности с точки зрения матричной квантовой механики. Коммутация операторов координаты и импульса не равна нулю. Коммутирующими называют такие операторы, коммутация которых (в выражении ниже она записана в квадратных скобках) равна нулю.
    • $[{\hat {x}},{\hat {p}}]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar$
  • Оказывается, что ненулевой коммутации должен соответствовать принцип неопределенности. При действии оператора ${\hat {x}}$ на состояние волновая функция вырождается в собственное состояние оператора ${\hat {x}}$ с определенным результатом измерений (собственным значением). Вместе с тем собственное состояние ${\hat {x}}$ не обязательно должно быть собственным состоянием другого оператора ${\hat {p}}.$ В результате не существует определенного измеренного значения для $p,$ то есть данное состояние может быть записано лишь как линейная комбинация основных собственных состояний импульса. Если же два оператора коммутируют, то они имеют общий набор собственных состояний (такой случай называется вырождением), и две наблюдаемые величины можно одновременно измерить с произвольной точностью. Это всегда выполняется в классической механике.
  • Это причина принципа неопределенности. Данный принцип не связан с ограничениями наших приборов, которые не позволяют одновременно измерить координаты и импульс с желаемой точностью. Напротив, он является фундаментальным свойством самих частиц.

Реклама