Как определять четные и нечетные функции

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Алгебраический способ

Графический способ

Дополнительные статьи

Источники

Функции бывают четными, нечетными или общего вида (то есть ни четными, ни нечетными). Вид функции зависит от наличия или отсутствия симметрии. Лучший способ определить вид функции – это выполнить ряд алгебраических вычислений. Но вид функции можно выяснить и по ее графику. Если научиться определять вид функций, можно предугадывать поведение определенных сочетаний функций.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 2:

Алгебраический способ

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запомните, что такое противоположные значения переменных. В алгебре противоположное значение переменной записывается со знаком «-» (минус). Причем это верно при любом обозначении независимой переменной (буквой $x$ или любой другой буквой). Если в исходной функции перед переменной уже стоит отрицательный знак, то ее противоположным значением будет положительная переменная. Ниже приведены примеры некоторых переменных и их противоположных значений:

   • Противоположным значением для $x$ является $-x$.
   • Противоположным значением для $q$ является $-q$.
   • Противоположным значением для $-w$ является $w$.
2. 
   2
   Замените независимую переменную на ее противоположное значение. То есть поменяйте знак независимой переменной на противоположный. Например:

   • $f(x)=4x^{2}-7$ превращается в $f(-x)=4(-x)^{2}-7$
   • $g(x)=5x^{5}-2x$ превращается в $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$
   • $h(x)=7x^{2}+5x+3$ превращается в $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$.
3. 
   3
   Упростите новую функцию. На этом этапе вместо независимой переменной не нужно подставлять определенные числовые значения. Необходимо просто упростить новую функцию f(-x), чтобы сравнить ее с исходной функцией f(x). Вспомните основное правило возведения в степень: при возведении отрицательной переменной в четную степень получится положительная переменная, а при возведении отрицательной переменной в нечетную степень получится отрицательная переменная.

   • $f(-x)=4(-x)^{2}-7$
     • $f(-x)=4x^{2}-7$
   • $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$
     • $g(-x)=5(-x^{5})+2x$
     • $g(-x)=-5x^{5}+2x$
   • $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$
     • $h(-x)=7x^{2}-5x+3$
4. 
   4
   Сравните две функции. Сравните упрощенную новую функцию f(-x) с исходной функцией f(x). Запишите соответствующие члены обеих функций друг под другом и сравните их знаки.

   • Если знаки соответствующих членов обеих функций совпадают, то есть f(x) = f(-x), исходная функция четная. Пример:
     • $f(x)=4x^{2}-7$ и $f(-x)=4x^{2}-7$.
     • Здесь знаки членов совпадают, поэтому исходная функция четная.
   • Если знаки соответствующих членов обеих функций противоположны друг другу, то есть f(x) = -f(-x), исходная функция четная. Пример:
     • $g(x)=5x^{5}-2x$, но $g(-x)=-5x^{5}+2x$.
     • Обратите внимание, что если умножить каждый член первой функции на -1, получится вторая функция. Таким образом, исходная функция g(x) является нечетной.
   • Если новая функция не соответствует ни одному из приведенных примеров, то она является функцией общего вида (то есть ни четной, ни нечетной). Например:
     • $h(x)=7x^{2}+5x+3$, но $h(-x)=7x^{2}-5x+3$. Знаки первых членов обеих функций одинаковы, а знаки вторых членов противоположны. Поэтому эта функция является ни четной, ни нечетной.
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Графический способ

Загрузить PDF

1. 
   1
   Постройте график функции. Для этого воспользуйтесь миллиметровкой или графическим калькулятором. Выберите несколько любых числовых значений независимой переменной $x$ и подставьте их в функцию, чтобы вычислить значения зависимой переменной $y$. Найденные координаты точек нанесите на координатную плоскость, а затем соедините эти точки, чтобы построить график функции.

   • В функцию подставьте положительные числовые значения $x$ и соответствующие отрицательные числовые значения. Например, дана функция $f(x)=2x^{2}+1$. Подставьте в нее следующие значения $x$:
     • $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$. Получили точку с координатами $(1,3)$.
     • $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$. Получили точку с координатами $(2,9)$.
     • $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$. Получили точку с координатами $(-1,3)$.
     • $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$. Получили точку с координатами $(-2,9)$.
2. 
   2
   Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная.

   • Проверить симметричность графика можно по отдельным точкам. Если значение $y$, которое соответствует значению $x$, совпадает со значением $y$, которое соответствует значению $-x$, функция является четной. В нашем примере с функцией $f(x)=2x^{2}+1$ мы получили следующие координаты точек:
     • (1,3) и (-1,3)
     • (2,9) и (-2,9)
   • Обратите внимание, что при x=1 и x=-1 зависимая переменная у=3, а при x=2 и x=-2 зависимая переменная у=9. Таким образом, функция четная. На самом деле, чтобы точно выяснить вид функции, нужно рассмотреть более двух точек, но описанный способ является хорошим приближением.
3. 
   3
   Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению $y$ (при положительном значении $x$) соответствует отрицательное значение $y$ (при отрицательном значении $x$), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат.

   • Если в функцию подставить несколько положительных и соответствующих отрицательных значений $x$, значения $y$ будут различаться по знаку. Например, дана функция $f(x)=x^{3}+x$. Подставьте в нее несколько значений $x$:
     • $f(1)=1^{3}+1=1+1=2$. Получили точку с координатами (1,2).
     • $f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$. Получили точку с координатами (-1,-2).
     • $f(2)=2^{3}+2=8+2=10$. Получили точку с координатами (2,10).
     • $f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$. Получили точку с координатами (-2,-10).
   • Таким образом, f(x) = -f(-x), то есть функция нечетная.
4. 
   4
   Проверьте, имеет ли график функции какую-нибудь симметрию. Последний вид функции – это функция, график которой не имеет симметрии, то есть зеркальное отображение отсутствует как относительно оси ординат, так и относительно начала координат. Например, дана функция $f(x)=x^{2}+2x+1$.

   • В функцию подставьте несколько положительных и соответствующих отрицательных значений $x$:
     • $f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$. Получили точку с координатами (1,4).
     • $f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$. Получили точку с координатами (-1,-2).
     • $f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$. Получили точку с координатами (2,10).
     • $f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$. Получили точку с координатами (2,-2).
   • Согласно полученным результатам, симметрии нет. Значения $y$ для противоположных значений $x$ не совпадают и не являются противоположными. Таким образом, функция является ни четной, ни нечетной.
   • Обратите внимание, что функцию $f(x)=x^{2}+2x+1$ можно записать так: $f(x)=(x+1)^{2}$. Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.
   Реклама

Советы

• Если показатель степени независимой переменной четный, то функция четная; если же показатель степени нечетный, функция нечетная.

Реклама

Предупреждение

• Данную статью можно применить только к функциям с двумя переменными, значения которых можно нанести на плоскость координат.