Как вывести формулу кинетической энергии

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

С помощью интегралов

С помощью обычных математических операций

Дополнительные статьи

Когда на движущееся тело не действуют противодействующие силы, оно двигается с постоянной скоростью — это следует из первого закона Ньютона. Однако если на движущееся тело действует сила, направление которой совпадает с направлением движения тела, оно будет ускоряться в соответствии со вторым законом Ньютона $\mathbf {F} =m\mathbf {a} .$ Работа, выполненная силой, будет преобразована в кинетическую энергию, значение которой будет расти. В этой статье мы выведем формулу для вычисления кинетической энергии на основе изложенных принципов.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 2:

С помощью интегралов

Загрузить PDF

1. 1
   Запишите формулу, связывающую работу и энергию. Работа, выполненная над телом, равна изменению его кинетической энергии.

   • $\Delta K=W$
2. 2
   Вместо работы подставьте в формулу интеграл. То есть в формуле замените работу на интеграл произведения силы и перемещения тела.

   • $\Delta K=\int \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$
3. 3
   Вместо силы подставьте произведение массы и ускорения. Теперь вместо ускорения подставьте изменение скорости, деленное на изменение времени. Обратите внимание, что масса является скалярной величиной, поэтому ее можно вынести за интеграл.

   • ${\begin{aligned}\Delta K&=\int m\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=m\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}$
4. 4
   Избавьтесь от перемещения и времени. Обратите внимание, что перемещение, деленное на изменение времени, равно скорости. Поэтому перепишите формулу так:

   • ${\begin{aligned}\Delta K&=m\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {v} \\&=m\int \mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {v} \end{aligned}}$
5. 5
   Возьмите интеграл по изменению скорости. Как правило, начальная скорость $v_{0}$ равна 0.

   • ${\begin{aligned}\Delta K&={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}$
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

С помощью обычных математических операций

Загрузить PDF

1. 1
   Запишите формулу, связывающую работу и энергию. Работа, выполненная над телом, равна изменению его кинетической энергии.

   • $\Delta K=W$
2. 2
   Вместо работы подставьте в формулу произведение силы и перемещения тела. Теперь силу замените произведением массы и ускорения. Так как мы используем обычные математические операции (а не интегралы), здесь ускорение считается постоянным (то есть не меняется).

   • ${\begin{aligned}\Delta K&=F\Delta x\\&=ma\Delta x\end{aligned}}$
   • В этой формуле $\Delta x$ — это перемещение тела.
3. 3
   Запишите формулу для вычисления скорости по начальной скорости, ускорению и перемещению. Есть формулы, которые включают время, перемещение, скорость и ускорение, но ниже приведена формула, в которой времени нет.

   • $v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x$
   • Если тело начинает движение из состояния покоя, начальная скорость $v_{0}=0.$
4. 4
   На основании предыдущей формулы выведите формулу для вычисления ускорения. Помните, что начальная скорость равна 0.

   • $a={\frac {v^{2}}{2\Delta x}}$
5. 5
   Подставьте выражение для нахождения ускорения в исходную формулу, а затем упростите ее.

   • ${\begin{aligned}\Delta K&=m\left({\frac {v^{2}}{2\Delta x}}\right)\Delta x\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}$
   Реклама