Krachten berekenen in de natuurkunde

In de natuurkunde is spanning de kracht uitgeoefend door een touw, snaar, kabel of soortgelijk object op een of meer andere objecten. Alles waaraan wordt getrokken wordt opgehangen, ondersteund of wat aan een touw e.d. zwaait, wordt blootgesteld aan de kracht van spanning. Net zoals andere krachten, kan spanning objecten in een versnelling brengen of ervoor zorgen dat ze vervormen. Spanning kunnen berekenen is een belangrijke vaardigheid voor natuurkunde-studenten, maar ook voor ingenieurs en architecten. Zij moeten immers, om veilige gebouwen te kunnen ontwerpen, precies weten of de spanning op een kabel de last van een object kan weerstaan. Lees verder bij Stap 1 om te leren hoe je de spanning in diverse natuurkundige systemen kunt berekenen.

Methode 1

Methode 1 van 2:

Het bepalen van de spanning op een enkel koord

Pdf downloaden

1
Bepaal de krachten aan elke kant van het draad. De spanning in een gegeven draad van een touw is een optelling van alle krachten die aan het touw trekken van beide uiteinden. Vergeet niet: kracht = massa × versnelling. Stel dat het touw strak wordt uitgerekt, dan zal elke verandering in de versnelling of massa van de objecten die het touw ondersteunt, een verandering veroorzaken in de spanning in het touw. Vergeet de constante versnelling door de zwaartekracht ook niet – zelfs al is een systeem in rust, elk component wordt blootgesteld aan de zwaartekracht. De spanning in een bepaald touw kunnen we uitdrukken als T = (m × g) + (m × a), waarbij "g" de versnelling is door de zwaartekracht van elk object welke door het touw wordt ondersteund, en "a" is elke andere versnelling op elk object wat door het touw wordt ondersteund.
- Omwille van de eenvoud, kunnen we aannemen dat we te maken hebben met een ideale draad – met andere woorden, dat het touw, de kabel, etc. dun is en massaloos, en niet kan uitrekken of breken.
- Een voorbeeld: stel we hebben een systeem waarbij een massa aan een houten balk hangt, vastgemaakt met een enkel touw (zie afbeelding). Nog de massa nog het touw bewegen – het hele systeem is in ruste. We weten nu dat de massa in equilibrium is, waarbij de spanningskracht gelijk is aan de zwaartekracht op de massa. Met andere woorden, Spanning (F_t) = Kracht of Zwaartekracht (F_g) = m × g.
  - Stel we hebben een massa van 10 kg, dan geldt: spanning = 10 kg × 9,8 m/s² = 98 Newton.
2
Houd rekening met de versnelling. Zwaartekracht is niet de enige kracht die van invloed is op de spanning in een touw- elke kracht kan in verband worden gebracht met de versnelling van een object waar het touw mee is verbonden. Als een hangend object wordt versneld door een kracht op het touw of de kabel, dan geldt dat de kracht veroorzaakt door de versnelling (massa × versnelling) wordt opgeteld bij de spanning veroorzaakt door de massa van het object.
- Stel dat in ons voorbeeld, de massa van 10 kg aan een touw hangt, welke niet aan een balk is vastgemaakt, maar gebruikt wordt om de massa omhoog te tillen met een versnelling van 1 m/s². In dit soort gevallen moeten we rekening houden, niet alleen met de versnelling op de massa, maar ook met de zwaartekracht, door dit als volgt op te lossen:
  - F_t = F_g + m × a
  - F_t = 98 + 10 kg × 1 m/s²
  - F_t = 108 Newton.
3
Houd ook rekening met een cirkelvormige versnelling. Een object welke rond een centraal punt wordt gedraaid aan een touw (zoals een pendule) oefent een spanning uit op het touw veroorzaakt door de centripetale kracht. Centripetale kracht is kracht welke het touw uitoefent op een object door deze naar binnen te "trekken", zodat het object in een boog blijft bewegen, in plaats van rechtdoor te gaan. Hoe sneller het object beweegt, des te groter is de centripetale kracht. Centripetale kracht (F_c) is gelijk aan m × v²/r waarbij "m" gelijk is aan de massa, "v" is de snelheid en "r" is de straal van de cirkel, oftewel de baan waarin het object zich beweegt.
- Omdat de richting en de grootte van de centripetale kracht verandert als het object aan het touw beweegt en de snelheid verandert, dan geldt dit ook voor de totale spanning in het touw, welke altijd parallel aan het touw in de richting van het centrale punt trekt. Vergeet niet dat de zwaartekracht constant aan het object trekt. Dus, als een object in een verticale stand wordt rondgeslingerd, dan is de totale spanning het grootst onderaan de baan van het object (in het geval van een pendule heet dit ook wel het equilibrium), daar waar het object het snelst beweegt. De spanning is het minst bovenin de cirkelbeweging, daar waar de snelheid het geringst is.
- Stel dat in het voorbeeld dat het object slingert als bij een pendule. Het touw is 1,5 meter lang en de massa beweegt met een snelheid van 2 m/s op het laagste punt. Als we de spanning op dat punt willen uitrekenen, het punt waarop de snelheid het hoogst is, dan zullen we eerst moeten inzien dat de spanning door de zwaartekracht op dit punt gelijk is als op het moment dat de pendule in ruste is - 98 Newton. Om de centripetale kracht te vinden, rekenen we als volgt:
  - F_c = m × v²/r
  - F_c = 10 × 2²/1.5
  - F_c =10 × 2,67 = 26,7 Newton.
  - Dus, de totale spanning is 98 + 26,7 = 124,7 Newton.
4
Begrijp goed dat de spanning door de zwaartekracht verandert tijdens de periode van de slinger. Zoals al eerder aangegeven veranderen zowel de richting als de grootte van de centripetale kracht terwijl een object slingert. Maar hoewel de zwaartekracht constant blijft, kan de spanning door de zwaartekracht ook veranderen. Als een slingerend object niet onderaan de slingerbeweging is (het punt van equilibrium), dan trekt de zwaartekracht recht naar beneden, maar de spanning trekt in een hoek aan het object. Hierom zal de spanning een deel van de zwaartekracht opheffen, maar niet volledig.
- Door de zwaartekracht op te breken in twee vectoren kun je dit concept misschien beter visualiseren. Op elk punt in de boog van de beweging van een slingerend object vormt het touw een hoek van "θ" met de lijn door het equilibrium en het centrale punt van de rotatie. Terwijl het touw slingert kun je de zwaartekracht (m × g) opdelen in 2 vectoren - mgsin(θ) is de raaklijn aan de boog in de richting van het equilibrium, en mgcos(θ), de parallel aan de spanningskracht in de tegenovergestelde richting. De spanning hoeft alleen maar mgcos(θ) tegen te gaan - de kracht die tegenwerkt – niet de volledige zwaartekracht (behalve in het punt van equilibrium, wanneer deze gelijk is aan de spanning).
- Stel dat de pendule een hoek vormt van 15 graden met de verticale lijn, en dan een snelheid heeft van 1,5 m/s. De spanning vinden we dan als volgt:
  - Spanning door de zwaartekracht (T_g) = 98cos(15) = 98(0,96) = 94,08 Newton
  - Centripetale kracht (F_c) = 10 × 1,5²/1,5 = 10 × 1,5 = 15 Newton
  - Totale spanning = T_g + F_c = 94,08 + 15 = 109,08 Newton.
5
Denk ook om de wrijving. Elk object dat door een touw wordt getrokken en wrijving ondervindt van een ander object (of vloeistof), brengt deze wrijvingskracht over op de spanning in het touw. De kracht van wrijving tussen twee objecten wordt berekend op dezelfde manier als in elke andere situatie – door de volgende vergelijking: Kracht door wrijving F_r = (mu)N, waarbij mu gelijk staat aan de wrijvingscoëfficiënt tussen de twee objecten en waarbij N de normaalkracht is tussen de twee objecten (de kracht waarmee ze tegen elkaar aan drukken). Merk op dat statische wrijving – de wrijving die optreedt als je een stilstaand onbject in beweging wilt krijgen – is anders dan de kinetische wrijving - de wrijving die optreedt als je probeert om een bewegend object in beweging te houden.
- Stel dat de massa van 10 kg niet langer slingert, maar wordt voortgesleept, horizontaal over de grond en aan een touw. Nu stellen we dat de grond een kinetische wrijvingscoëfficiënt heeft van 0,5 en dat de massa met een constante snelheid beweegt, maar dat we deze willen versnellen met 1 m/s². Deze nieuwe opgave laat twee belangrijke veranderingen zien – als eerste hoeven we de spanning door de zwaartekracht niet meer te berekenen, omdat het touw de massa niet meer ondersteunt en de kracht tegenwerkt. We moeten nu rekening gaan houden met de wrijvingskracht en de daardoor ontstane spanning, evenals met de spanning veroorzaakt door de versnelling van het object. We lossen dit als volgt op:
  - Normaalkracht (N) = 10 kg × 9.8 (versnelling door zwaartekracht) = 98 N
  - Kracht van de kinetische wrijving (F_r) = 0.5 × 98 N = 49 Newton
  - Kracht van de versnelling (F_a) = 10 kg × 1 m/s² = 10 Newton
  - Totale spanning = F_r + F_a = 49 + 10 = 59 Newton.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

Het berekenen van spanning op meerdere koorden

Pdf downloaden

1
Het tillen van parallelle verticale ladingen met een katrol. Een katrol is een eenvoudige machine die bestaat uit een opgehangen wiel waarmee de kracht van de spanning in een touw van richting kan worden veranderd. In een eenvoudige opstelling loopt het touw of de kabel van een hangende massa omhoog naar door de katrol, en daarna naar beneden naar een andere massa, waardoor je twee lengtes touw krijgt. Maar de spanning in beide delen van het touw is gelijk, zelfs als aan beide uiteinden van het touw massa's van verschillende grootte hangen. In een systeem van twee massa's die aan een katrol hangen is de spanning gelijk aan 2g(m₁)(m₂)/(m₂+m₁), waarbij "g" de versnelling is van de zwaartekracht, "m₁" de massa van object 1 en "m₂" de massa van object 2.
- Merk op dat we hierbij uitgaan van een "ideale katrol – geen massa, geen wrijving en katrollen die niet kunnen breken, vervormen of van het plafond los kunnen komen.
- Stel we hebben twee massa's hangend aan een katrol, aan parallelle touwen. Gewicht 1 heeft een massa van 10 kg en gewicht 2 een massa van 5 kg. We vinden in dit geval de spanning als volgt:
  - T = 2g(m₁)(m₂)/(m₂+m₁)
  - T = 2(9,8)(10)(5)/(5 + 10)
  - T = 19,6(50)/(15)
  - T = 980/15
  - T = 65,33 Newton.
- Merk op dat omdat de ene massa zwaarder is dan de andere, het systeem zal gaan versnellen, waarbij de 10 kg naar beneden en de 5 kg naar boven beweegt.
2
Het tillen van gewichten met een katrol bij koorden die verticaal maar niet parallel staan. Katrollen worden vaak gebruikt om spanning in een andere richting te krijgen dan omhoog of omlaag. Als bijvoorbeeld een massa verticaal hangt aan het ene uiteinde van het touw, terwijl er een tweede massa op een helling aan het andere uiteinde is vastgemaakt, dan zal dit niet parallelle katrolsysteem de vorm aannemen van een driehoek met als hoekpunten de eerste massa, de tweede massa en de katrol zelf. In dit geval wordt de spanning in het touw bepaald door zowel de zwaartekracht op de massa en door de component van de trekkracht die parallel werkt aan het diagonale deel van het touw.
- Stel we hebben een systeem met een massa van 10 kg (m₁), verticaal verbonden, via een katrol, met een massa van 5 kg (m₂) op een helling van 60 graden (we nemen aan dat de helling wrijvingsloos is). Om de spanning in het touw te vinden is het gemakkelijker om als eerste vergelijkingen op te stellen voor de krachten die de massa's versnellen. Ga als volgt te werk:
  - De hangende massa is zwaarder en we hoeven geen rekening te houden met wrijving, dus we weten dat er een versnelling naar beneden is. Maar de spanning in het touw trekt de massa omhoog, dus berekenen we de netto kracht op het touw als volgt: F = m₁(g) - T, or 10(9.8) - T = 98 - T.
  - We weten dat de massa op de helling omhoog zal versnellen. Omdat de helling wrijvingsloos is weten we dat de spanning de massa omhoog trekt langs de helling, alleen tegengehouden door de eigen massa van het gewicht. De krachtcomponent welke het gewicht naar beneden trekt word berekend door mgsin(θ), dus in ons geval kunnen we zeggen dat het gewicht omhoog lang de helling versnelt door de netto kracht F = T - m₂(g)sin(60) = T - 5(9.8)(.87) = T - 42.63.
  - De versnelling van de twee massa's is hetzelfde, dus hebben we (98 - T)/m₁ = T - 42.63 /m₂. Na wat eenvoudige algebra krijgen we dan T = 61.09 Newton.
3
Meerdere koorden gebruiken om een object aan te hangen. Als laatste beschouwen we het geval waarbij een object hangt aan een "Y-vormig" systeem van touwen – twee touwen zijn aan het plafond vastgemaakt, en komen bij elkaar in een centraal punt, waar een gewicht aan een derde touw hangt. De spanning in het derde touw is duidelijk – dit is eenvoudigweg de resulterende spanning door de zwaartekracht. De spanningen in de andere twee touwen zijn verschillend en horen bij elkaar opgeteld even groot te zijn als de zwaartekracht in een naar boven en verticale richting, en gelijk aan nul in horizontale richting (ga ervan uit dat het systeem in rust is). De spanning in de touwen wordt beïnvloed door zowel de massa van het hangende object, als door de hoek van elk touw met het plafond.
- Stel dat in dit Y-vormige systeem, dat het object een gewicht heeft van 10 kg en dat de twee bovenste touwen een hoek maken met het plafond van 30 graden en 60 graden. Als we de spanning in elk van de bovenste touwen willen vinden, dan moeten we rekening houden bij elk touw, met de verticale en horizontale componenten van de spanning. De twee touwen in dit voorbeeld hangen loodrecht op elkaar, waardoor het gemakkelijk is om deze spanningen te berekenen, volgens de definities van de goniometrische functies. Dus als volgt:
  - De verhouding tussen T₁ of T₂ en T = m(g) is gelijk aan de sinus van de hoek tussen elk ondersteunend touw en het plafond. Voor T₁ is sin(30) = 0,5, terwijl voor T₂ geldt dat sin(60) = 0,87.
  - Vermenigvuldig de spanning in het onderste touw (T = mg) met de sinus van elke hoek, om T₁ en T₂ te vinden.
  - T₁ =0,5 × m(g) =0,5 × 10(9,8) = 49 Newton.
  - T₂ =0,87 × m(g) =0,87 × 10(9,8) = 85,26 Newton.
Advertentie