Comment trouver le nombre de diagonales d'un polygone

Trouver le nombre de diagonales d'un polygone est un savoir-faire utile en mathématiques. Autant cela peut sembler simple sur un polygone ayant peu de côtés, autant la chose est plus compliquée sur un polygone à 20 côtés ou plus. Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas l'un à côté de l'autre ^{[1]XSource de recherche}. Un polygone est une figure plane fermée, délimitée par plusieurs segments (côtés). Il est possible, grâce à une formule simple, de calculer les diagonales d'un polygone, que celui-ci ait 4 côtés comme 4 000.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Tracer des diagonales

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Apprenez le nom des polygones. Dans un premier temps, vous devez savoir le nombre de côtés du polygone à étudier. Chacun possède un nom particulier, le radical est toujours « gone », mais le préfixe, souvent d'origine grecque, varie en fonction du nombre de côtés. Voici les noms des polygones ayant de 4 à 20 côtés ^{[2]XSource de recherche} :
- le quadrilatère (tétragone) : 4 côtés
- le pentagone : 5 côtés
- l'hexagone : 6 côtés
- l'heptagone : 7 côtés
- l'octogone : 8 côtés
- l'ennéagone : 9 côtés
- le décagone : 10 côtés
- l’hendécagone : 11 côtés
- le dodécagone : 12 côtés
- le tridécagone : 13 côtés
- le tétradécagone (quadridécagone) : 14 côtés
- le pentadécagone : 15 côtés
- l'hexadécagone : 16 côtés
- l'heptadécagone : 17 côtés
- l'octadécagone : 18 côtés
- l'ennéadécagone : 19 côtés
- l'icosagone : 20 côtés
- un triangle (3 côtés) n'a pas de diagonales ^{[3]XSource de recherche}
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Tracez le polygone. Si vous voulez connaitre le nombre de diagonales d'un carré, vous devez d'abord en dessiner un. Vous devez tracer une figure qui a quatre côtés de longueur égale avec quatre angles droits. Cela pour une figure régulière, mais sachez que le nombre de diagonales d'un polygone est toujours le même, que le polygone soit régulier ou non ^{[4]XSource de recherche}.
- Pour tracer votre polygone, utilisez une règle et dessinez quatre côtés de longueur identique, chaque côté formant un angle droit avec le côté adjacent.
- Si vous ne comprenez pas bien ce qu'est un polygone, allez voir sur Internet quelques exemples. Ainsi, le panneau de signalisation marquant le stop est un octogone.
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Tracez les diagonales. Une diagonale est tout segment qui relie deux sommets non consécutifs, ce qui exclut les côtés de la figure ^{[5]XSource de recherche}. Partez d'un sommet, puis tracez une diagonale vers chacun des sommets non consécutifs.
- Ainsi, pour un carré, si vous partez du coin inférieur gauche, il n'y a qu'une seule diagonale qui va dans le coin supérieur droit, et si vous partez du coin supérieur gauche, il n'y a qu'une seule diagonale qui va dans le coin inférieur droit.
- Tracez les diagonales en couleur pour permettre un comptage plus facile ^{[6]XSource de recherche}.
- Vous comprendrez aisément que cette méthode convient mal dès lors que vous avez des figures avec de très nombreux côtés.
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Comptez les diagonales. Le comptage peut se faire au fur et à mesure du traçage ou une fois que vous aurez terminé. Lors du décompte, vous pouvez inscrire un petit chiffre à côté de la diagonale comptée. Ainsi, vous pourrez voir à la fois si vous n'en avez pas oublié une ou deux au passage, ce qui arrive parfois.
- Dans un carré, il n'y a que deux diagonales qui relient chacune deux angles opposés ^{[7]XSource de recherche}.
- Un hexagone a 9 diagonales : il y a trois diagonales qui partent de chacun des trois sommets.
- Un heptagone a 14 diagonales. Vous comprenez bien que compter les diagonales devient de plus en plus difficile au fur et à mesure que le nombre de côtés du polygone augmente.
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Faites attention à ne pas compter deux fois une diagonale. En effet, d'un même sommet peuvent partir plusieurs diagonales. La tentation serait grande de multiplier le nombre de sommets par le nombre de diagonales qui en partent : ce faisant, vous comptez deux ou trois fois la même diagonale. Vous devez donc les compter l'une après l'autre, sans les compter deux fois ^{[8]XSource de recherche}.
- Ainsi, un pentagone (5 côtés) n'a que 5 diagonales. Chaque sommet a certes deux diagonales, et si vous les comptez sans faire attention, vous allez en trouver 10. En fait, il n'y en a que 5, car celle qui arrive sur un sommet a déjà été comptée comme telle au départ d'un autre sommet.
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Exercez-vous sur des exemples concrets. Tracez divers polygones sur votre feuille, tracez leurs diagonales, puis comptez-les. Peu importe que vous fassiez des polygones réguliers ou non, la méthode de comptage est toujours la même. En cas de polygone concave, les principes de la diagonale et du comptage restent les mêmes, simplement certaines diagonales se retrouvent en dehors de la figure ^{[9]XSource de recherche}.
- Un hexagone a 9 diagonales.
- Un heptagone a 14 diagonales.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Utiliser la formule des diagonales

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Prenez connaissance de la formule de calcul. Cette dernière se fonde sur le nombre de côtés et est la suivante : n(n-3)/2, formule dans laquelle n figure le nombre de côtés du polygone ^{[10]XSource de recherche}. Sous sa forme développée, la formule se présente ainsi : (n² - 3n)/2. Que vous utilisiez l'une ou l'autre, le résultat sera identique.
- Cette formule fonctionne pour tous les polygones, réguliers ou non.
- Le triangle, qui est un polygone, échappe seul à cette formule, car il ne possède du fait de sa forme aucune diagonale ^{[11]XSource de recherche}.
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Comptez le nombre de côtés d'un polygone. Pour pouvoir utiliser cette formule, vous devez connaitre le nombre de côté de votre figure. Si l’on vous donne, dans un exercice, le nom du polygone, vous devrez savoir la signification de ce nom (certainement vu en cours). Ci-après, vous trouverez les préfixes les plus couramment utilisés pour désigner les polygones ^{[12]XSource de recherche}.
- tétra- (4), penta- (5), hexa- (6), hepta- (7), octo- (8), ennéa- (9), déca- (10), hendéca- (11), dodéca- (12), tridéca- (13), tetradéca- (14), pentadéca- (15).
- Quand le nombre de côtés devient trop important, on parle alors de « polygone à n côtés ». Ainsi, un polygone à 44 côtés sera appelé ainsi, même s'il a un nom à préfixe grec.
- Si vous avez la figure du polygone, il vous suffit de compter le nombre de côtés.
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Remplacez n par sa valeur. Après avoir déterminé ou compté le nombre de côtés, il ne vous reste plus qu'à reprendre la formule de calcul, à remplacer n par le nombre que vous avez trouvé et enfin, à faire les calculs. Faites attention, il y a deux valeurs n dans la formule, les deux prennent la même valeur ^{[13]XSource de recherche}.
- Prenons l'exemple d'un dodécagone, figure à 12 côtés.
- Inscrivez la formule : n(n-3)/2.
- Faites l'application numérique : (12(12 - 3))/2.
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Faites les calculs. Comme il y a des parenthèses, vous devez faire attention à l'ordre des opérations. Priorité est donnée aux parenthèses. Ici, vous devez d'abord soustraire, puis multiplier et enfin, diviser. Le résultat obtenu n'est rien d'autre que le nombre de diagonales de votre polygone ^{[14]XSource de recherche}.
- Nous avons donc le calcul suivant à faire : (12(12 – 3))/2.
- Commencez par soustraire, ce qui donne : (12 x 9)/2.
- Faites ensuite le produit, ce qui donne : (108)/2.
- Divisez enfin, ce qui donne : 54.
- Un dodécagone a 54 diagonales.
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Exercez-vous sur d'autres exemples. Comme souvent en mathématiques, plus vous vous exercerez, mieux vous comprendrez. Vous finirez par retenir définitivement la formule « magique ». Cela sera très utile si vous devez faire des exercices en temps très limité. Vous pouvez appliquer cette formule avec tous les polygones, quelles que soient leurs formes, et à la condition qu'il y ait plus de trois côtés.
- Pour un hexagone (6 côtés) : n(n-3)/2 = 6(6-3)/2 = (6 x 3)/2 = 18/2 = 9 diagonales.
- Pour un décagone (10 côtés) : n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = (10 x 7)/2 = 70/2 = 35 diagonales.
- Pour un icosagone (20 côtés) : n(n-3)/2 = 20(20-3)/2 = (20 x 17)/2 = 340/2 = 170 diagonales.
- Pour un polygone à 96 côtés : n(n-3)/2 = 96(96-3)/2 = (96 x 93)/2 = 8 928/2 = 4 464 diagonales.
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