Comment déterminer la convergence d’une série infinie

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Il n'est pas toujours aisé de résoudre des problèmes mathématiques avec les séries infinies, car ces dernières sont assez difficiles à comprendre. Par vérification, il peut être difficile de déterminer si une série est convergente ou divergente. Il y a quelques siècles, il aurait fallu des heures de travail pour résoudre un seul problème, mais grâce à de brillants mathématiciens, il est possible d’utiliser des théorèmes pour déterminer si une série est convergente ou divergente. Fait encore plus intéressant, vous n'êtes pas obligé d’utiliser plusieurs règles à la fois : une ou deux suffisent généralement. Déterminer la règle à utiliser demande néanmoins de la pratique. En fait, il faut identifier le type de fonctions qui fonctionnent le mieux avec chaque méthode. Assurez-vous d'avoir également une bonne compréhension de l’algèbre.

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   Utilisez la règle de divergence. Ce procédé permet de déterminer si une série $u_{k}$ est divergente ou convergente, où $k\in \mathbb {Z} .$

   • Si $\lim _{k\to \infty }u_{k}\neq 0,$ $u_{k}$ est divergente.
   • L'inverse n’est pas vrai. Si la limite d'une série tend vers 0, cela ne veut pas forcément dire que la série est convergente. Vous devriez procéder à d'autres vérifications dans ce cas.
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   Recherchez des séries géométriques. On appelle série géométrique une série de terme général $r^{k},$ où $r$ est le rapport entre deux nombres adjacents dans la série. Il est très facile de reconnaitre les séries dites géométriques et de déterminer si elles sont convergentes ou pas.

   • Si $|r|<1$, $r^{k}$ est convergente.
   • Si $|r|\geq 1,$ $r^{k}$ est divergente.
   • Si $r=-1,$ le test n’est pas concluant, et vous devez par conséquent utiliser un autre procédé.
   • Dans le cas des séries géométriques convergentes, il est possible de calculer la somme des séries comme suit ${\frac {1}{1-r}}.$
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   Recherchez les séries p. Les séries p sont des séries sous la forme ${\frac {1}{k^{p}}}.$ On parle parfois de séries hyperharmoniques à cause de la façon dont elles généralisent les séries harmoniques, dont $p=1.$

   • Si $p>1,$ la série est dite convergente.
   • Si $0<p\leq 1,$ la série est divergente. Faites attention au signe d’infériorité ou d’égalité.
   • Il est un fait bien connu que les séries harmoniques divergent, quoique très progressivement, étant donné que $p=1$ remplit tout juste le deuxième critère. À l’inverse, les séries telles que ${\frac {6}{k^{2}}}$ convergent.
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   Essayez le procédé qui implique le calcul intégral. Ce test fonctionne mieux lorsque l’intégration $f$ est facile. À noter que $f$ doit être décroissant, sinon la série diverge automatiquement.

   • Soit $f$ une fonction continue décroissante, où $u_{k}=f(k)$. Si $k\geq a,$ $u_{k}$ et $\int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$ sont convergentes ou divergentes.
   • Autrement dit, il est possible de construire la représentation graphique d’une fonction continue à partir d'une série discrète. Une série est dite discrète lorsque les termes entre la série et la fonction sont égaux entre eux. Ensuite, il est possible d’évaluer simplement l'intégrale pour vérifier la divergence. Si l’intégrale est divergente, la série l’est également.
   • Pour revenir à la série harmonique, cette série peut être représentée par la fonction $f(x)={\frac {1}{x}}.$ Étant donné que $\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=\ln(\infty )-\ln(1)=\infty$ (vu que la fonction logarithmique n'est pas limitée), le procédé faisant intervenir le calcul intégral est une autre façon de démontrer la divergence de cette série.
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   Utilisez le théorème des séries alternées. Ces séries contiennent généralement un terme $(-1)^{k}$. Toutes les autres règles de cet article s’appliquent aux séries dont tous les termes sont positifs.

   • Si $a_{k}>0$ et que $k$ est suffisamment élevé, $a_{k}$ converge lorsque les deux critères suivants sont remplis.
     • $a_{k}\geq a_{k+1}$
     • $\lim _{k\to \infty }a_{k}=0$
   • Autrement dit, si vous avez une série alternée, vous devez ignorer les signes et vérifier si chacun des termes est inférieur au terme qui le précède. Il vous faudra ensuite vérifier si la limite de votre série tend vers 0.
   • Il convient de noter que les séries qui convergent avec cette méthode, mais divergent lorsque l’on supprime $(-1)^{k}$, sont dites conditionnellement convergentes. La série harmonique alternée ${\frac {(-1)^{k-1}}{k}}$ en est un parfait exemple, et la somme est égale à $\ln 2.$
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   Suivez la règle de d'Alembert. Ce procédé est utilisable pour les expressions contenant des factorielles ou des puissances. Soit $u_{k}$ une série infinie. Trouvez $u_{k+1}$ et calculez ${\frac {u_{k+1}}{u_{k}}}.$ À présent, on a $\rho =\lim _{k\to \infty }{\frac {u_{k+1}}{u_{k}}}.$

   • La série converge si $\rho <1$, diverge si $\rho >1$ ou $\rho =\pm \infty ,$ et n'est pas concluante si $\rho =1.$
   • La règle de Cauchy est une variante de la règle de d'Alembert, où $\rho =\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{u_{k}}}.$ Les mêmes critères de la règle de d'Alembert sont appliquées ici.
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   Utilisez le théorème de comparaison à l’aide d’une limite. Cette règle consiste à choisir une série avec une condition suffisante $b_{k}$ pour laquelle vous connaissez la convergence ou la divergence, et à la comparer à une série $a_{k}$ à l’aide d’une limite. Ce procédé est souvent utilisé pour évaluer la convergence des séries définies par une expression rationnelle.

   • Soit $\rho =\lim _{k\to \infty }{\frac {a_{k}}{b_{k}}}.$ Ensuite, la série converge si $\rho$ est limité, ou les deux divergent si $\rho =\pm \infty .$
   • Supposons que vous avez la série ${\frac {1}{k^{3}+2k+1}}.$ C’est normal de la comparer à ${\frac {1}{k^{3}}},$ étant donné que le terme le plus élevé croit ou décroit plus vite, et vous savez qu'elle est convergente grâce au test des séries p.
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   Essayez le test de comparaison. Dans l’ensemble, ce test est compliqué, alors utilisez-le en dernier recours. Considérons deux séries dont les termes sont positifs $a_{k}$ et $b_{k}.$ Le terme de $a$ est inférieur au terme de $b.$ Alors, ce qui suit est vrai.

   • Si la série la plus grande $b_{k}$ est convergente, $a_{k}$ l’est aussi, puisque $b_{k}>a_{k}.$
   • Si $a_{k}$ est divergente, $b_{k}$ l’est aussi, puisque $a_{k}<b_{k}.$
   • Par exemple, supposons que vous avez la série ${\frac {1}{{\sqrt {k}}-1}}.$ Vous pouvez la comparer à celle-ci ${\frac {1}{\sqrt {k}}},$ car même en ignorant les termes constants, cela n’affectera pas la convergence ou la divergence de la série. Sachant que ${\frac {1}{\sqrt {k}}}$ est divergente selon le test des séries p, et que ${\frac {1}{\sqrt {k}}}<{\frac {1}{{\sqrt {k}}-1}}$, ${\frac {1}{{\sqrt {k}}-1}}$ est aussi divergente.
   • Dans ce test, il est très important d’identifier la série qui contient les termes plus grands ou plus petits. Par exemple, si la plus petite série $a_{k}$ est convergente, cela ne signifie pas que la plus grande série $b_{k}$ l’est aussi.
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