Comment comprendre et maitriser les nombres complexes

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Dans cet article:

Apprendre les bases

Apprendre la représentation géométrique

Apprendre la formule d'Euler

Conclusions

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Les nombres complexes, à l'inverse de ce que nous fait penser leur nom, sont assez faciles à manipuler et nous permettent, dans la vie de tous les jours (ou presque), des simplifications ou des résolutions encore impossibles si l'on se limitait à l'ensemble des réels $\mathbb {R}$

Pour comprendre ce cours, vous êtes supposé savoir ce que sont les fonctions trigonométriques de base, les constantes $\mathbb {e}$ et $\pi$ et d'autres bases des mathématiques vues avant.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:

Apprendre les bases

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   L'ensemble de ces nombres, noté $$ C {\displaystyle \mathbb {C} } , peut-être vu comme une extension de $$ R {\displaystyle \mathbb {R} } à laquelle nous avons rajouté le nombre imaginaire $$ i {\displaystyle \mathbb {i} } .

   • Le nombre imaginaire $\mathbb {i}$ est défini par la relation : $\mathbb {i} ^{2}=-1$
   • Tout nombre complexe peut être écrit sous la forme $a+b\mathbb {i}$ où a et b sont des réels. On dira de a que c'est la partie réelle du nombre complexe et b sa partie complexe.
   • On notera souvent un nombre complexe avec la lettre z.
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   Avec les nombres complexes, arrivent au moins 3 nouvelles notions.

   • Le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe dont la partie imaginaire est l'opposée de celle de z. On le note ${\bar {z}}$.
   • Le module d'un nombre complexe z est le réel obtenu en faisant ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. On le note parfois r, parfois $|z|$.
   • L'argument d'un nombre complexe z est l'angle, en radians, obtenu en faisant $atan({\frac {b}{a}})$. On le note $arg(z)$.
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   L'ensemble $$ C {\displaystyle \mathbb {C} } possède les mêmes opérations élémentaires que l'ensemble $$ R {\displaystyle \mathbb {R} } , et voici les 4 principales.

   • Pour $z_{1}=a+b\mathbb {i}$ et $z_{2}=c+d\mathbb {i}$
   • L'addition : $z_{1}+z_{2}=(a+b\mathbb {i} )+(c+d\mathbb {i} )=a+c+(b+d)\mathbb {i}$
   • La soustraction : $z_{1}-z_{2}=(a+b\mathbb {i} )-(c+d\mathbb {i} )=a-c+(b-d)\mathbb {i}$
   • La multiplication : $z_{1}\cdot z_{2}=(a+b\mathbb {i} )(c+d\mathbb {i} )=a\cdot c-b\cdot d+(a\cdot d+b\cdot c)\mathbb {i}$
     • Note : $z\cdot {\bar {z}}$ donnera toujours un nombre réel.
   • La division : ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}\cdot {\bar {z_{2}}}}{z_{2}\cdot {\bar {z_{2}}}}}={\frac {(a+b\mathbb {i} )(c-d\mathbb {i} )}{(c+d\mathbb {i} )(c-d\mathbb {i} )}}={\frac {a\cdot c+b\cdot d-(a\cdot d-b\cdot c)\mathbb {i} }{c^{2}+d^{2}}}$
     • Note : comme vous pouvez le voir, nous avons multiplié le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cela a pour but de concentrer le nombre imaginaire au numérateur. Par convention, à l'instar des nombres irrationnels, nous préférons ne pas avoir de nombre imaginaire au dénominateur.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:

Apprendre la représentation géométrique

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1. 1
   Visualisez. Dans les mathématiques, il est toujours plus facile de comprendre la matière quand nous savons la visualiser. Il est donc intéressant de voir comment un nombre complexe peut-être représenté de façon géométrique.

   • Par convention, un nombre complexe peut-être vu comme un point dans un plan dont l'axe des abscisses représente sa partie réelle et l'axe des ordonnées sa partie imaginaire.
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   Ce nombre peut-être également représenté par un vecteur reliant l'origine au point du nombre complexe. Ce vecteur fera un angle avec l'horizontal qui est en fait l'argument du nombre complexe. Nous voyons ici que le module d'un nombre complexe nous donne la longueur de son vecteur associé.

   • Prenons $z=3+4\mathbb {i}$, voici le nombre complexe et son vecteur associé.
     
   • Nous pouvons également normer ce vecteur et représenter n'importe quel nombre complexe par un point du cercle trigonométrique.
     • Attention : cette action a pour conséquence de perdre l'information du module du nombre complexe, mais nous permet de visualiser tous les nombres complexes dans un espace restreint au cercle d'équation $x^{2}+y^{2}=1$
       
   • Pour compléter la notion d'argument, nous voyons, grâce à la figure ci-dessus, qu'il n'existe pas d'unique angle au vecteur représentant un nombre complexe. Il en existe en fait une infinité donnée par $arg(z)+2\cdot k\cdot \pi$ avec k un entier quelconque.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:

Apprendre la formule d'Euler

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   Il existe en fait au moins 3 autres façons d'écrire un nombre complexe. Toutes ces représentations sont reliées par une relation : la formule d'Euler.

   • La formule d'Euler est une égalité mathématique définie sur l'ensemble de complexes : $cis(x)=e^{\mathbb {i} x}=cos(x)+\mathbb {i} sin(x)$
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   De cette formule découlent d'autres relations :

   • $z=r\cdot cis(\theta )$
   • $z=(r,\theta )$ la forme polaire
   • $z=r\cdot e^{\mathbb {i} \theta }$ la forme exponentielle
     • Ces relations permettent de faire des calculs très intéressants nous simplifiant la vie et en voici deux exemples.
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Dans la trigonométrie

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   Développez des fonctions. Vous pouvez linéariser et développer des fonctions trigonométriques très facilement et, sans devoir retenir des formules, en remplaçant les sinus et cosinus par leur forme eulérienne correspondante :

   • $cos(x)={\frac {e^{\mathbb {i} x}+e^{-\mathbb {i} x}}{2}}$
   • $sin(x)={\frac {e^{\mathbb {i} x}-e^{-\mathbb {i} x}}{2\mathbb {i} }}$

Les racines n-ièmes d'un nombre

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   Dans l'ensemble $$ C {\displaystyle \mathbb {C} } , tout nombre z possède n racines n-ièmes. Autrement dit, il existe n solutions à l'équation $x={\sqrt[{n}]{z}}$

   • Soit $z\in \mathbb {C}$ et $arg(z)+2\cdot k\cdot \pi =\theta$, tentons de calculer les racines n-ièmes de z en utilisant sa forme exponentielle.
     • $z=r\cdot e^{\mathbb {i} \theta }$
     • ${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{\mathbb {i} {\frac {\theta }{n}}}$
   • En regardant l'angle de plus près, on voit qu'il existe n valeurs différentes d'angles pour $\theta$ avant d'avoir parcouru tout le cercle trigonométrique.
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   Rien ne vaut mieux qu'un exemple. Tentons de réaliser ${\sqrt {3+4\mathbb {i} }}$

   • $z^{2}=3+4\mathbb {i}$ $|z^{2}|=5$ $phi=atan({\frac {4}{3}})$
   • $z_{1}=5\cdot (cos(phi/2)+\mathbb {i} sin(phi/2))=2+\mathbb {i}$
   • $z_{2}=5\cdot (cos(\pi +phi/2)+\mathbb {i} sin(\pi +phi/2))=-5\cdot (cos(phi/2)+\mathbb {i} sin(phi/2))=-2-\mathbb {i}$
3. 
   3
   Une petite représentation des solutions.

   • Ici, nous voyons bien que les deux solutions, v et w, sont décalées d'un angle de 180°.
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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:

Conclusions

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   Après ce petit cours, vous avez pu, nous l'espérons, comprendre assez simplement les différentes notions qu'apporte l'ensemble des complexes.

   • Nous vous invitons à nous faire des critiques et des propositions sur cet article qui pourra, petit à petit, grandir et s'améliorer.