Comment appliquer les méthodes d'intégration

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On connait la primitive

On ne connait pas la primitive

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Dès la terminale, il se peut que vous ayez à calculer des intégrales en tout genre. Il s'agit avant tout de savoir quelle méthode il faut utiliser à quel moment, afin de calculer l'aire sous la courbe d'une fonction sur un intervalle fermé donné. Nous nous intéresserons ici seulement aux intégrales de fonctions réelles continues à une variable. Surtout, ne confondez jamais le calcul d'une intégrale, donc d'une aire, avec le calcul d'une primitive, donc une fonction. Le calcul d'une intégrale peut néanmoins se servir d'un calcul de primitive.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

On connait la primitive

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1. 1
   Grâce au théorème fondamental de l'analyse. Nous savons que si $f$ est dérivable sur $[a;b]$, alors $\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)dt=f(b)-f(a)$.
   
   Si l'on connait d'emblée la primitive de la fonction que l'on cherche à intégrer, il suffit d'appliquer ce résultat.
   
   

   • Il faut pour cela mémoriser un tableau de primitives usuelles.
     
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   Grâce à une intégration par parties. Si $u$ et $v$ sont dérivables et que leurs dérivées sont continues sur $[a;b]$, alors $\int _{a}^{b}u'(t)v(t){\textrm {d}}t=[u(t)v(t)]_{t=a}^{t=b}-\int _{a}^{b}u(t)v'(t){\textrm {d}}t$
   
   On utilise une IPP lorsque l'on veut isoler des termes de la fonction dont on connait la primitive, en particulier.

   • Pour diminuer le degré du dénominateur d'une fonction rationnelle.
   • Pour faire disparaitre des termes en logarithme népérien.
   • Pour savoir quel terme de la multiplication il faut dériver, il faut utiliser la méthode ALPE, on dérive en priorité les fonctions trigonométriques réciproques (Arccosinus, Arcsinus, Arctangente), en deuxième les logarithmes, en troisième les polynômes et en dernier lieu les exponentielles.
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   Par un changement de variable.

   • Si l'on veut calculer $\int _{a}^{b}f(t){\textrm {d}}t$ et que $u:t\mapsto u(t)$ est dérivable et que sa dérivée est continue sur $[\alpha ;\beta ]$, où $u(\alpha )=a,\quad u(\beta )=b$,
     
     alors $\int _{a}^{b}f(t){\textrm {d}}t=\int _{\alpha }^{\beta }(f\circ u)(t)u'(t){\textrm {d}}t$
     
     
   • En pratique, il s'agit de trouver un changement de variable qui simplifie notre expression (qui vous sera souvent donné), d'exprimer le changement de variable réciproque et de le dériver pour pouvoir remplacer dans votre intégrale tous les termes en fonction de votre variable initiale en fonction de votre nouvelle variable, sans oublier les bornes d'intégration et l'opérateur différentiel.
   • Par exemple, supposons que vous connaissez la primitive de f et que vous avez une intégrale de la forme $\int _{a}^{b}t^{n-1}f(t^{n}){\textrm {d}}t$.
     
     Il vous suffit de poser $x=t^{n}$ pour obtenir après calcul ${\frac {1}{n}}\int _{a^{n}}^{b^{n}}f(x){\textrm {d}}x$ et vous pouvez utiliser le théorème fondamental de l'analyse.
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   Si la fonction que l'on intègre est rationnelle.

   • Si l'on a une fonction de la forme $R(t)={\dfrac {P(t)}{Q(t)}}$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes et que $Q$ ne s'annule pas sur $[a;b]$, il va falloir décomposer votre fonction en éléments simples, sans oublier la partie entière, comme expliqué ici. Vous aurez alors à intégrer une somme de fractions irréductibles qui peuvent prendre 4 formes distinctes.
     
     
   • 1er cas : c'est la partie entière de votre fraction initiale, il s'agit d'un polynôme, voyez la méthode précédente
     
     
   • 2e cas : ${\dfrac {1}{t+c}}$ a pour primitive $\ln |t+c|$
     
     
   • 3e cas : $\left({\dfrac {1}{t+c}}\right)^{n}$ a pour primitive ${\dfrac {1}{1-n}}\left({\dfrac {1}{t+c}}\right)^{n-1}$
     
     
   • 4e cas : ${\dfrac {ct+d}{\left(t^{2}+pt+q\right)^{n}}}$ où le dénominateur n'a pas de racines réelles.
     
     Dans ce cas, pour le calcul de sa primitive on écrit ${\dfrac {ct+d}{\left(t^{2}+pt+q\right)^{n}}}={\dfrac {c}{2}}{\dfrac {2t+p}{\left(t^{2}+pt+q\right)^{n}}}+{\dfrac {d-{\frac {pc}{2}}}{\left(t^{2}+pt+q\right)^{n}}}$
     
     et le premier morceau s'intègre facilement, car il est de la forme ${\dfrac {u'}{u^{n}}}$.
     
     Il faut donc calculer $I_{n}=\displaystyle \int {\dfrac {{\textrm {d}}t}{\left(t^{2}+pt+q\right)^{n}}}$
     
     
   • En factorisant canoniquement $t^{2}+pt+q$ on a
     
     $I_{n}=\displaystyle \int {\dfrac {{\textrm {d}}t}{\left(\left(t+{\frac {p}{2}}\right)^{2}+q-{\frac {p^{2}}{4}}\right)^{n}}}$ d'où
     
     $I_{n}={\dfrac {1}{\left(q-{\frac {p^{2}}{4}}\right)^{2n}}}\displaystyle \int {\dfrac {{\textrm {d}}t}{\left({\dfrac {\left(t+p/2\right)^{2}}{q-{\frac {p^{2}}{4}}}}+1\right)^{n}}}$
     
     et avec un changement de variable affine on a
     
     $I_{n}=\left(q-{\frac {p^{2}}{4}}\right)^{1-2n}\displaystyle \int {\dfrac {{\textrm {d}}t}{\left(t^{2}+1\right)^{n}}}=\left(q-{\frac {p^{2}}{4}}\right)^{1-2n}J_{n}$
     
     et par récurrence, par intégration par parties on a
     
     $J_{n}={\dfrac {t{\textrm {d}}t}{\left(t^{2}+1\right)^{n}}}+2n\displaystyle \int {\dfrac {t^{2}{\textrm {d}}t}{\left(t^{2}+1\right)^{n+1}}}={\dfrac {t}{\left(t^{2}+1\right)^{n}}}+2n(J_{n+1}-J_{n})$
     
     et on peut calculer $J_{n}$ sachant que $J_{0}=x$ par simple étude de suite. Faites attention, ce sont des calculs fastidieux qui s'accompagnent souvent d'erreurs de calcul.
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   En utilisant les règles de Bioche s'il s'agit d'une fonction trigonométrique rationnelle.

   • Si l'on a une fonction de la forme
     
     $R(\cos(t),\sin(t))={\dfrac {P_{1}(\cos(t))+P_{2}(\sin(t))}{Q_{1}(\cos(t))+Q_{2}(\sin(t))}}$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur l'intervalle, le changement de variable $x=\tan(t/2)$ vous sortira de n'importe qu'elle situation. Elle entraine les changements
     
     $\sin(t)={\frac {2x}{1+x^{2}}},\quad \cos(t)={\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}},\quad {\textrm {d}}t={\frac {2}{1+x^{2}}}{\textrm {d}}x$
     
     Mais il existe une méthode plus rapide.
     
     
   • Si $R(\cos(-t),\sin(-t))=R(\cos(t),\sin(t))$ alors posez $x=\cos(t)$
     
     
   • Si $R(\cos(\pi -t),\sin(\pi -t))=R(\cos(t),\sin(t))$ alors posez $x=\sin(t)$
     
     
   • Si $R(\cos(\pi +t),\sin(\pi +t))=R(\cos(t),\sin(t))$ alors posez $x=\tan(t)$
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

On ne connait pas la primitive

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On essayera de transformer l'intégrale en une intégrale "classique" ou d'obtenir une relation la concernant qui ramènera la question à une simple résolution d'équation ou d'étude de suite.

1. 1
   Notre intégrale est sous forme de suite. Si elle est de la forme $I_{n}=\int _{a}^{b}f_{n}(t){\textrm {d}}t$, il faut procéder à une ou plusieurs intégrations par parties pour essayer d'obtenir une relation de récurrence. Par exemple les Intégrales de Wallis.
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   Si nous pouvons l'exprimer en fonction d'une intégrale "classique". Il s'agit d'exprimer votre intégrale sous forme d'intégrales connues au moyen d'une intégration par parties ou d'un changement de variable. En particulier, il s'agit de :

   • l'intégrale de Gauss : $\int _{0}^{+\infty }e^{-t^{2}}{\textrm {d}}t={\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}$
     
     
   • l'intégrale de Dirichlet : $\int _{0}^{+\infty }{\dfrac {\sin(t)}{t}}{\textrm {d}}t={\dfrac {\pi }{2}}$
     
     
   • $\int _{0}^{\pi /2}\ln(\sin(t)){\textrm {d}}t=-{\dfrac {\pi }{2}}\ln(2)$
     
     
   • $\int _{0}^{1}{\dfrac {\ln(t)}{t-1}}{\textrm {d}}t={\dfrac {\pi ^{2}}{6}}$
     
     
   • $\int _{0}^{1}{\dfrac {t-1}{\ln(t)}}{\textrm {d}}t=\ln(2)$
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