Cómo usar el teorema del seno

A la hora de investigar las propiedades de un triángulo, el teorema del seno, también conocido como ley del seno (o de los senos), es extremadamente útil. Si bien las tres relaciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) son de gran ayuda en triángulos rectángulos, la regla del seno funciona incluso en triángulos escalenos. Independientemente de la forma del triángulo, si tienes cierta información sobre sus ángulos y sus lados, puedes usar el teorema del seno para calcular lo demás.

Parte 1

Parte 1 de 3:

Etiquetar el triángulo

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Los lados de un triángulo tradicionalmente se marcan con tres letras consecutivas, por lo general, A, B y C. No importa el orden que elijas para marcar los lados, salvo que haya alguna indicación específica en el problema que vas a resolver.^{[1]XFuente de investigación}
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Marca los ángulos. Marca los tres ángulos del triángulo con las letras que se correspondan con las longitudes de los lados. Por ejemplo, si usaste las letras mayúsculas A, B y C para los lados, entonces marca los ángulos con las letras minúsculas a, b y c. También puedes usar las letras griegas minúsculas $\alpha$ $How.com.vn Español: \alpha$ , $\beta$ $How.com.vn Español: \beta$ y $\gamma$ $How.com.vn Español: \gamma$ . Ubícalas de modo tal que queden enfrentadas a los lados correspondientes etiquetados. Es decir, el ángulo $\alpha$ $How.com.vn Español: \alpha$ deberá ser opuesto al lado A, el ángulo $\beta$ $How.com.vn Español: \beta$ opuesto al lado B y el ángulo $\gamma$ $How.com.vn Español: \gamma$ opuesto al lado C.^{[2]XFuente de investigación}
- Una forma de determinar si un lado es "opuesto" a un ángulo dado es comprobando que no forme ninguno de los rayos del ángulo. Si has etiquetado el triángulo correctamente, el ángulo $\alpha$ estará formado por los lados B y C. Por lo tanto, será "opuesto" al lado A.
- Del mismo modo, el ángulo $\beta$ estará formado por los lados A y C y será opuesto a B.
- El ángulo $\gamma$ estará formado por los lados A y B y será opuesto a C.
- Algunos libros de matemática usan letras mayúsculas para los lados y minúsculas para los ángulos. Otros, al revés. Es exactamente lo mismo, siempre y cuando mantengas la consistencia.
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Etiqueta las medidas conocidas. En el problema te darán las medidas de algunos lados y ángulos. Márcalas en el bosquejo del triángulo.^{[3]XFuente de investigación}
- Ten ten cuenta que quizás puedas calcular una o más medidas utilizando reglas de geometría.
  - Por ejemplo, si el problema dice que el triángulo es isósceles, entonces sabrás que dos de los ángulos son iguales y podrás marcarlos. También sus dos lados correspondientes.
  - Otro ejemplo: si el problema dice que dos ángulos miden 40 y 75 grados, entonces sabes que el tercero mide 65 grados, ya que la suma de los tres ángulos de un triángulo es siempre igual a 180 grados.
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Parte 2 de 3:

Calcular otros datos usando el teorema del seno

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Aprende más sobre el teorema del seno. El teorema del seno, también llamado ley de los senos, es una regla trigonométrica en la que se relacionan los lados de un triángulo con la medida de sus ángulos. Si bien la mayoría de las reglas trigonométricas se aplican a triángulos rectángulos, el teorema del seno se puede aplicar a cualquier triángulo, independientemente de si es o no un triángulo rectángulo.^{[4]XFuente de investigación}'
- El teorema del seno establece lo siguiente:
  - ${\frac {A}{\operatorname {sen} \alpha }}={\frac {B}{\operatorname {sen} \beta }}={\frac {C}{\operatorname {sen} \gamma }}$
- La misma regla se puede reordenar para llegar a la siguiente declaración, que es equivalente a la anterior:
  - ${\frac {\operatorname {sen} \alpha }{A}}={\frac {\operatorname {sen} \beta }{B}}={\frac {\operatorname {sen} \gamma }{C}}$
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Revisa los datos necesarios. Para que el teorema del seno sea útil, es necesario conocer las medidas de al menos dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo. En cualquiera de los casos, debes tener al menos un par que consista en un lado y su ángulo opuesto.^{[5]XFuente de investigación}
- Por ejemplo, las siguientes combinaciones serían suficientes para poder aplicar el teorema del seno:
  - Lado A, lado B y ángulo $\alpha$ .
  - Lado A, lado C y ángulo $\gamma$ .
  - Lado B, ángulo $\beta$ y ángulo $\alpha$ .
- Las siguientes combinaciones son ejemplos de datos que NO serían suficientes para poder aplicar el teorema del seno:
  - Lados A, B y C (el teorema no funcionaría porque no tienes la medida de ningún ángulo).
  - Lado A, lado B y ángulo $\gamma$ (el teorema no funcionaría porque el ángulo conocido no es opuesto a ninguno de los lados conocidos).
  - Lado B, ángulo $\alpha$ y ángulo $\gamma$ (el teorema no funcionaría porque el lado conocido no es opuesto a ninguno de los ángulos conocidos).
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Escribe la parte del teorema del seno que necesites. El teorema del seno sirve para encontrar un dato acerca de un triángulo (la media de un lado o de un ángulo), a partir de otros tres datos. Si bien el teorema del seno se escribe como una ecuación de tres partes, dos son suficientes para que la regla funcione.^{[6]XFuente de investigación}
- Por ejemplo, si conoces los lados A y B y el ángulo $\alpha$ $How.com.vn Español: \alpha$ , entonces necesitas la parte del teorema que dice:
  - ${\frac {A}{\operatorname {sen} \alpha }}={\frac {B}{\operatorname {sen} \beta }}$
- Ten en cuenta las equivalencias de este teorema. En realidad no importa qué etiqueta uses para cada lado o ángulo. Lo importante es recordar que compara relaciones. La relación de cualquier lado con su ángulo opuesto es igual a la relación entre otro lado y su ángulo opuesto.
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Reemplaza las etiquetas por los valores conocidos. Supón que sabes que el lado A mide 12, el ángulo $\alpha$ $How.com.vn Español: \alpha$ mide 80 grados y el ángulo $\beta$ $How.com.vn Español: \beta$ 40 grados. Encuentra la longitud del lado B. Puedes marcar estos números en el triángulo y plantear el problema de la siguiente manera:^{[7]XFuente de investigación}
- ${\frac {A}{\operatorname {sen} \alpha }}={\frac {B}{\operatorname {sen} \beta }}$
- ${\frac {12}{\operatorname {sen} 80}}={\frac {B}{\operatorname {sen} 40}}$
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Reordena la ecuación para hallar el valor desconocido. Utiliza pasos algebraicos para manipular la información desconocida de modo que quede sola en uno de los lados de la ecuación. Así podrás reducir el problema para encontrar la respuesta.^{[8]XFuente de investigación}
- ${\frac {12}{\operatorname {sen} 80}}={\frac {B}{\operatorname {sen} 40}}$
- ${\frac {12\operatorname {sen} 40}{\operatorname {sen} 80}}=B$
- $7,83=B$
- Para encontrar el valor del seno de un ángulo, por ejemplo, el seno de 40 grados, en el problema anterior, utiliza cualquier calculadora de mano que tenga funciones trigonométricas. Cada calculadora es diferente. En algunas tienes que ingresar primero la medida del ángulo y luego presionar el botón "sin" (seno). En otras, primero hay que presionar el botón "sin" y luego ingresar la medida del ángulo. Tendrás que probar con tu calculadora.
- Como alternativa, puedes consultar una de las tablas disponibles en libros de matemáticas o en línea. Las tablas trigonométricas te permiten buscar la medida del ángulo deseado en una columna y su correspondiente valor de seno, coseno o tangente en otra columna.
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Parte 3

Parte 3 de 3:

Practicar con otros problemas

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Utiliza la ecuación para encontrar un ángulo desconocido. Imagina, como otro problema distinto, que conoces la medida de dos de los lados y necesitas obtener la medida de un ángulo desconocido. La información conocida es que el lado A mide 10 centímetros, el lado B 7 centímetros y el ángulo $\alpha$ $How.com.vn Español: \alpha$ 50 grados. Utiliza esta información para encontrar la medida del ángulo $\beta$ $How.com.vn Español: \beta$ . Plantea el problema de la siguiente manera:^{[9]XFuente de investigación}
- ${\frac {A}{\operatorname {sen} \alpha }}={\frac {B}{\operatorname {sen} \beta }}$
- ${\frac {10}{\operatorname {sen} 50}}={\frac {7}{\operatorname {sen} \beta }}$
- $\operatorname {sen} \beta ={\frac {7\operatorname {sen} 50}{10}}$
- $\operatorname {sen} \beta ={\frac {7*0,766}{10}}$
- $\operatorname {sen} \beta =0,536$
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Utiliza la función inversa, cuando sea necesario, para encontrar el ángulo. En el ejemplo anterior, el teorema del seno proporciona el seno del ángulo seleccionado como solución. Para encontrar la medida del ángulo en sí, debes usar la función inversa del seno. Esta función se conoce como arcoseno. En una calculadora, esta función generalmente se representa con la simbología $sin^{-1}$ $How.com.vn Español: sin^{{-1}}$ .Utilízala para encontrar la medida del ángulo.^{[10]XFuente de investigación}
- En el ejemplo anterior, el paso final sería el siguiente:
  - $\operatorname {sen} \beta =0,536$
  - $\beta =arc$ $sen$ $0,536$
  - $\beta =32,4$ .
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Resuelve un problema con información incompleta. Supón que el problema dice que $\alpha =30{\text{ grados}}$ $How.com.vn Español: \alpha =30{\text{ grados}}$ , el ángulo $\beta =50{\text{ grados}}$ $How.com.vn Español: \beta =50{\text{ grados}}$ y el lado C, que los une, mide 10 centímetros. Encuentra la medida de todos los lados y ángulos del triángulo.
- En primer lugar, como podrás ver, todavía no cuentas con información suficiente como para poder aplicar el teorema del seno. Para poder aplicar el teorema del seno hay que tener al menos un par de datos, con un ángulo opuesto a un lado conocido. Sin embargo, puedes calcular el tercer ángulo de este triángulo usando una simple resta. Los tres ángulos suman 180 grados, por lo que puedes hallar el valor de $\gamma$ $How.com.vn Español: \gamma$ haciendo la resta que se muestra a continuación:
  - $\gamma =180-\alpha -\beta =180-30-50=100$
- Ahora que conoces la medida de los tres ángulos, puedes aplicar el teorema del seno para encontrar los dos lados restantes. Calcúlalos de a uno por vez:
  - ${\frac {C}{\operatorname {sen} \gamma }}={\frac {B}{\operatorname {sen} \beta }}$
  - ${\frac {10}{\operatorname {sen} 100}}={\frac {B}{\operatorname {sen} 50}}$
  - ${\frac {10\operatorname {sen} 50}{\operatorname {sen} 100}}=B$
  - ${\frac {10*0,766}{0,985}}=B$
  - $7,78=B$
- Así, el lado B mide 7,78 centímetros. Ahora continúa resolviendo para encontrar el lado que falta.
  - ${\frac {C}{\operatorname {sen} \gamma }}={\frac {A}{\operatorname {sen} \alpha }}$
  - ${\frac {10}{\operatorname {sen} 100}}={\frac {A}{\operatorname {sen} 30}}$
  - ${\frac {10\operatorname {sen} 30}{\operatorname {sen} 100}}=A$
  - ${\frac {10*0,5}{0,985}}=A$
  - $5,08=A$
- Por lo tanto, el lado A mide 5,08 centímetros. También tienes la medida de los tres ángulos: 30, 50 y 100 grados y de los tres lados: 5,08, 7,78 y 10 centímetros.
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Consejos

Ten presente que si tienes dos lados y un ángulo (o dos ángulos y un lado) puedes aplicar el teorema del seno una vez y luego volver a aplicarlo nuevamente para encontrar el valor de los lados y ángulos restantes del triángulo. Una vez que tengas dos ángulos, calcula el tercero restándole la medida de estos dos ángulos a 180. Luego, con el tercer ángulo, aplica una vez más el teorema del seno y obtendrás el lado que falta.
Además del teorema del seno, puedes aprender el teorema del coseno. El teorema del coseno ordena de otra forma los datos de los lados y ángulos para que puedas obtener, en base a ellos, más información sobre un triángulo.

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