馬丁公理
在數學的集合論中,馬丁公理(Martin's axiom)是一個由唐纳德·A·馬丁和羅伯特·M·梭羅維引進的[1]公理,這公理獨立於慣常的、帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論(ZFC)。這公理在連續統假設成立的狀況下成立,但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。
用較不正式的講法,馬丁公理講的是任何小於連續統的基數,其行為會與大體類似。這公理背後的想法可藉由研究羅修娃-西葛斯基引理的證明得知;而這是用以控制特定力迫論證的其中一個原則。
陳述
编辑給定任意的基數 ,我們可以定義一個如下的陳述,並將這陳述給記做
:
對於任意滿足可數鏈條件的偏序
及任意
的稠密集的集族
而言,若
,則存在一個
上的濾子
,使得對於任意的
而言,
非空。
由於這是一個使得 不成立的ZFC定理之故,因此馬丁公理可表述如下:
馬丁公理(MA):對於任意的
,
成立
在這情況(應用可數鏈條件)下,一個反鏈 是
的子集,且這子集使得
的任意兩個元素不兼容(若在偏序中存在一個低於兩者的共通元素,則說兩個元素是兼容的),而這與樹等情況下的反鏈是不同的。
為真,而這即是羅修娃-西葛斯基引理。
為假:
是一個緊緻豪斯多夫空間,因此是個可分空間並滿足可數鏈條件。這集合沒有孤立點,因此其中的點是無處稠密的;但這集合是
這麼多的點的聯集。(也可參見下述的與
等價的條件)
與等價的陳述
编辑以下陳述與 等價:
結果
编辑後續發展
编辑參考資料
编辑- ^ Martin, Donald A.; Solovay, Robert M. Internal Cohen extensions. Ann. Math. Logic. 1970, 2 (2): 143–178. MR 0270904. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4
.
- ^ Davis, Sheldon W. Topology. McGraw Hill. 2005: 29. ISBN 0-07-291006-2.
延伸閱讀
编辑- Fremlin, David H. Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-25091-9.
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.