乘积法则
用来计算两个或以上函数的积的导数的方法
乘积法则(英語:Product rule),也称積定則、莱布尼兹法则,是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。
若已知两个可導函数及其导数,则它们的积的导数为:
莱布尼兹的发现
编辑人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹,以下是他的論述:设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么,uv的微分是:
由于du·dv的可忽略性,因此有:
两边除以dx,便得:
若用拉格朗日符號來表達,則等式記為
例子
编辑证明一:利用面积
编辑假设
且f和g在x点可导。那么:
现在,以下的差
是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Regladelproducte.png/750px-Regladelproducte.png)
这个区域可以分割为两个矩形,它们面积的和为:
因此,(1)的表达式等于:
如果(5)式中的四个极限都存在,则(4)的表达式等于:
现在:
因为当w → x时,f(x)不变;
因为g在x点可导;
因为f在x点可导;以及
因为g在x点连续(可导的函数一定连续)。
现在可以得出结论,(5)的表达式等于:
证明二:使用对数
编辑设f = uv,并假设u和v是正数。那么:
两边求导,得:
把等式的左边乘以f,右边乘以uv,即得:
证明三:使用导数的定义
编辑设
且f和g在x点可导。那么:
.
推廣
编辑- 若有
个函数
,则:
- (萊布尼茲法則)若
均為可導
次的函數,則
的
次導數為:
其中 是二項式係數。
应用
编辑乘积法则的一个应用是证明以下公式:
其中n是一个正整数(该公式即使当n不是正整数时也是成立的,但证明需要用到其它方法)。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 1,
假设公式对于某个特定的k成立,那么对于k + 1,我们有:
因此公式对于k + 1也成立。