Funksjonalanalyse

Et topologisk vektorrom er et vektorrom ${\displaystyle V}$ over en topologisk kropp ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (som regel er ${\displaystyle \mathbb {K} }$ enten ${\displaystyle \mathbb {C} }$ eller ${\displaystyle \mathbb {R} }$ med topologiene gitt av absoluttverdiene på disse kroppene) med en topologi slik at strukturavbildningene

${\displaystyle X\times X,(x,y)\mapsto x+y}$

${\displaystyle \mathbb {K} \times X,(\alpha ,x)\mapsto \alpha x}$

er kontinuerlige. Sentrale eksempler på topologiske vektorrom er Banach-rom, Hilbert-rom og lokalt konvekse rom. Det følger eksempelvis av trekantulikheten at et normert rom er et topologisk vektorrom.

Lineæravbildninger mellom de endeligdimensjonale rommene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ og ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ er automatisk kontinuerlige. Dette er derimot ikke lenger tilfelle i uendeligdimensjonale rom. For en lineæravbildning ${\displaystyle T:X\to Y}$ mellom normerte rom er følgende ekvivalent:

1. ${\displaystyle T}$ er begrenset, det vil si at det finnes en konstant ${\displaystyle K}$ slik at ${\displaystyle \lVert T(x)\rVert \leq K\lVert x\rVert }$ for alle ${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle T}$ er kontinuerlig.
3. ${\displaystyle T}$ er kontinuerlig i 0.
4. ${\displaystyle T}$ er uniformt kontinuerlig.