Lemma di Artin-Rees

Sia ${\displaystyle A}$ un anello commutativo unitario noetheriano, ${\displaystyle I}$ un ideale di ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle E}$ un ${\displaystyle A}$ -modulo finitamente generato, ${\displaystyle (E_{n})}$ una ${\displaystyle I}$ -filtrazione stabile di ${\displaystyle E}$ (ovvero una successione di sottomoduli di ${\displaystyle E}$ tale che ${\displaystyle IE_{n}=E_{n+1}}$ ), ${\displaystyle F}$ un sottomodulo di ${\displaystyle E}$ .Allora:

1. ${\displaystyle (E_{n}\cap F)}$ è una ${\displaystyle I}$ -filtrazione stabile di ${\displaystyle F}$ .
2. Esiste un ${\displaystyle k\geq 0}$ tale che ${\displaystyle I^{n}E\cap F=I^{n-k}(I^{k}E\cap F)}$ per ogni ${\displaystyle n\geq k}$

In particolare, le successioni ${\displaystyle (I^{n}F)}$ e ${\displaystyle (I^{n}E\cap F)}$ hanno differenza limitata, ovvero esiste un ${\displaystyle k}$ tale che ${\displaystyle I^{n+k}F\subseteq I^{n}E\cap F}$ e ${\displaystyle I^{n+k}E\cap F\subseteq I^{n}\cap F}$ .

La prima conseguenza del lemma di Artin-Rees è che, se ${\displaystyle E}$ è un modulo finitamente generato e ${\displaystyle F}$ un suo sottomodulo, allora la topologia ${\displaystyle I}$ -adica su ${\displaystyle F}$ coincide con la topologia di sottospazio indotta dalla topologia ${\displaystyle I}$ -adica su ${\displaystyle E}$ . Da questo segue che il completamento preserva le successioni esatte di moduli finitamente generati, ovvero che il completamento è un funtore esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.

Il lemma di Artin-Rees, inoltre, può essere usato per dimostrare il teorema dell'intersezione di Krull.

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.

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