Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartas o “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.
Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables .
Definición de cartas editar Ejemplos triviales editar
1) Si M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} ( R n , i d : R n → R n ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\;id:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n})} ∀ n ∈ N : n > 0 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :n>0}
2) Si M = R {\displaystyle M=\mathbb {R} } ( ( a , b ) , i : ( a , b ) ↪ R ) {\displaystyle ((a,b),\;i:(a,b)\hookrightarrow \mathbb {R} )} ∀ a , b ∈ R : a < b {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :a<b}
3) Si M = R {\displaystyle M=\mathbb {R} } ( R , x ↦ x 3 ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\;x\mapsto x^{3})} x 2 n + 1 ∀ n > 1 {\displaystyle x^{2n+1}\forall n>1}
Demostración:
R {\displaystyle \mathbb {R} } ∀ x ∈ R , ∃ ! x 3 , ∃ ! x 3 {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\exists !x^{3},\exists !{\sqrt[{3}]{x}}} 4) Si M = S 1 ⊂ R 2 ≅ C {\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C} } ( S 1 { i } , ϕ ) {\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\phi )}
ϕ : S 1 { i } ⟶ ( − 3 π 2 , π 2 ) z ⟼ θ := det − arg ( − 3 π 2 , π 2 ) ( z ) {\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}\\&z&\longmapsto &{\theta :=\det -\arg _{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(z)}\end{matrix}}}
5) Si M = S 1 ⊂ R 2 ≅ C {\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C} } ( S 1 { i } , ψ ) {\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\psi )}
la proyección estereográfica ψ : S 1 { i } ⟶ R z ⟼ x := c o s ( a r g ( z ) ) 1 − s e n ( a r g ( z ) ) {\displaystyle {\begin{matrix}\psi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&z&\longmapsto &{x:={\frac {cos(arg(z))}{1-sen(arg(z))}}}\end{matrix}}} Caso particular en el que n=2 6) Si M = S n ⊂ R n + 1 {\displaystyle M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}} ( S n { ( 0 , … , 0 , 1 ) } , ϕ ) {\displaystyle (S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\},\;\phi )}
ϕ : S n { ( 0 , … , 0 , 1 ) } ⟶ R n ( x 1 , … , x n + 1 ) ⟼ ( x 1 , … , x n ) 1 − x n + 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&{S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&(x_{1},\;\dots ,\;x_{n+1})&\longmapsto &{\frac {(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})}{1-x_{n+1}}}\end{matrix}}} Bibliografía editar
William M. Boothby, An Introduction to Differenciable Manifolds and Riemannian Geometry , 2nd ed. San Diego: Academic Press, 1986. Carmo, M. do, Riemannian Geometry . Boston: Birkhäuser, 1993. Currás Bosch, C. Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann . Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 2003. Girbau, J. Geometria diferencial i relativitat . Bellaterra: Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona,1993. Hicks, N. J. Notas sobre la geometría diferencial . Barcelona: Hispano Europea, 1973. Kobayashi, S., Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry , vol. I. New York [etc.] : Interscience, 1963. Spivak, M. A. Comprehensive Introduction to Differential Geometry . Boston [Mass.]: Publish or Perish, 1970-1975. Volumen I,II,IV. Warner, F. W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups . New York : Springer, 1983. John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds , (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218. Roger Penrose : El camino de la realidad , Ed. Debate, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5 .Spivak, Michael , Cálculo en variedades . Reverté (1988), ISBN 84-291-5142-7 Spivak, Michael , A comprehensive introduction to differential geometry,volume I , Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X .
es un abierto coordenado.
, diremos que
.
, diremos que la carta está centrada en
es espacio topológico,
, luego es biyectiva y como es continua tenemos un homeomorfismo.
.
.
.
