Κύβος (άλγεβρα)

Στα μαθηματικά κύβος ενός αριθμού π.χ. $\alpha$ , ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού αυτού, δηλαδή $\alpha \times \alpha \times \alpha$ . Η ονομασία "κύβος" ή "κύβος αριθμού" λήφθηκε από το γεγονός ότι η τρίτη δύναμη ενός αριθμού παριστά και τον όγκο του κύβου που έχει ακμή (πλευρά) τον αριθμό αυτό.

y = x 3

,

0 \leq x \leq 25

Ο κύβος του Ρούμπικ σχηματίζεται από 27 μικρότερους στερεούς κύβους. Συνεπώς ο αριθμός 27 είναι τέλειος κύβος.

Οι θετικοί κύβοι ή τέλειοι κύβοι μέχρι το 60³ είναι (OEIS:A000578):

1³ = 1	11³ = 1331	21³ = 9261	31³ = 29,791	41³ = 68,921	51³ = 132,651
2³ = 8	12³ = 1728	22³ = 10,648	32³ = 32,768	42³ = 74,088	52³ = 140,608
3³ = 27	13³ = 2197	23³ = 12,167	33³ = 35,937	43³ = 79,507	53³ = 148,877
4³ = 64	14³ = 2744	24³ = 13,824	34³ = 39,304	44³ = 85,184	54³ = 157,464
5³ = 125	15³ = 3375	25³ = 15,625	35³ = 42,875	45³ = 91,125	55³ = 166,375
6³ = 216	16³ = 4096	26³ = 17,576	36³ = 46,656	46³ = 97,336	56³ = 175,616
7³ = 343	17³ = 4913	27³ = 19,683	37³ = 50,653	47³ = 103,823	57³ = 185,193
8³ = 512	18³ = 5832	28³ = 21,952	38³ = 54,872	48³ = 110,592	58³ = 195,112
9³ = 729	19³ = 6859	29³ = 24,389	39³ = 59,319	49³ = 117,649	59³ = 205,379
10³ = 1000	20³ = 8000	30³ = 27,000	40³ = 64,000	50³ = 125,000	60³ = 216,000

Σε γεωμετρικούς όρους, ένας θετικός αριθμός $m$ είναι τέλειος κύβος αν και μόνο αν είναι δυνατόν να διαταχθούν $m$ κύβοι (ενν. στερεά) με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο κύβο. Για παράδειγμα 27 μικροί κύβοι μπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο (συγκεκριμένα με την μορφή ενός κύβου του Ρούμπικ), διότι 3 x 3 x 3 = 3³ = 27.

Η διαφορά κύβων ανάμεσα σε διαδοχικούς ακεραίους μπορεί να εκφραστεί ως:

n 3 - (n - 1) 3 = 3(n - 1) n + 1

.

ή

(n + 1) 3 - n 3 = 3(n + 1) n + 1

.

Δεν υπάρχει ελάχιστος τέλειος κύβος διότι ο αρνητικός ακέραιος υψωμένος στην τρίτη είναι αρνητικός. Για παράδειγμα, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Στους ακεραίους

Το πρόβλημα του Waring για κύβους

Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ εννέα θετικών κύβων. Το άνω φράγμα των εννέα κύβων δεν μπορεί να ελαττωθεί διότι, παραδείγματος χάριν, το 23 δεν είναι δυνατό να γραφεί ως άθροισμα λιγότερων από εννέα κύβων:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για κύβους

Η εξίσωση $x 3 + y 3 = z 3$ δεν έχει λύσεις πέραν της τετριμένης (δηλ για $xyz \neq 0$ ) στο σύνολο των ακεραίων. Για την ακρίβεια δεν έχει λύσεις στους ακεραίους Euler.^[1]^{[N 1]}

Τα παραπάνω ισχύουν επίσης για την εξίσωση:^[2] $x 3 + y 3 = 3 z 3$ .

Άθροισμα των πρώτων n κύβων

Το άθροισμα των πρώτων $n$ κύβων είναι ο $n$ στος τριγωνικός αριθμός^{[N 2]} στο τετράγωνο:

1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.

Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων πέντε κύβων είναι το τετράγωνο του 5ου τριγωνικού αριθμό:

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}\,

Παρόμοιο αποτέλεσμα δίδει και το άθροισμα των πρώτων $y$ περιττών κύβων,

1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

όμως τα $x$ και $y$ πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης $x^{2}-2y^{2}=-1$ .

Παραδείγματα:

Για $y = 5$ έχουμε:

1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}\,

και για $29$ ,

1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός, εκτός από τον πρώτο, επίσης είναι άθροισμα των πρώτων $2 (p -1)/2$ περιττών κύβων:

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

Άθροισμα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο

Υπάρχουν παραδείγματα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των οποίων είναι κύβος:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

Οι κύβοι ως αθροίσματα διαδοχικών περιττών ακεραίων

Στην ακολουθία περιττών ακεραίων 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., το 1 είναι κύβος (1 = 1³), το άθροισμα των επόμενων δύο αριθμών είναι ο επόμενος κύβος (3+5 = 2³), το άθροισμα των επόμενων τριών είναι αμέσως επόμενος κύβος (7+9+11 = 3³) και ούτω καθεξής.

Στους ρητούς

Κάθε θετικός ρητός αριθμός είναι άθροισμα τριών θετικών ρητών κύβων,^[3] ενώ υπάρχουν ρητοί που δεν είναι άθροισμα δύο ρητών κύβων.^[4]

Στους πραγματικούς αριθμούς

Η συνάρτηση f(x) = x³ είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού καθώς και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρώτη παράγωγός της είναι $3 x 2$ .

Άθροισμα και διαφορά δύο κύβων

Το άθροισμα δύο κύβων μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως

x^{3}+y^{3}=(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})

,

και η διαφορά τους ως

x^{3}-y^{3}=(x-y)\cdot (x^{2}+xy+y^{2})

.

Ιστορικό

Πολλοί αρχαίοι πολιτισμοί ασχολήθηκαν με την εύρεση των κύβων μεγάλων αριθμών. Μαθηματικοί της αρχαίας Μεσοποταμίας είχαν πίνακες για των υπολογισμό κύβων και κυβικών ριζών ήδη από την Πρώτη Βαβυλωνιακή Δυναστεία (20ος - 16ος αιώνας π.Χ)^[5]^[6] ενώ ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος ασχολήθηκε με την επίλυση κυβικών εξισώσεων.^[7] Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ανέπτυξε μέθοδο εύρεσης των κυβικών ριζών.^[8]

Μέθοδοι επιλύσεως κυβικών εξισώσεων αναφέρονται στο έργο Τα Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης, ένα κινεζικό εγχειρίδιο μαθηματικών του 2ου αιώνα π.Χ., το οποίο σώζεται με τον σχολιασμό του Liu Hui από τον 3ο αιώνα μ.Χ.^[9] Ο Ινδός μαθηματικός Aryabhata έγραψε ερμηνεία των κύβων στο έργο του Aryabhatiya. Το 2010 ο Alberto Zanoni ανέπτυξε νέο ταχύτερο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του κύβου ενός μεγάλου ακεραίου σε καθορισμένο εύρος.new algorithm^[10]

Σημειώσεις

↑ Γνωστοί και ως ακέραιοι Eisenstein
↑ Ο nοστός τριγωνικός αριθμός είναι: $T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}$ Για παράδειγμα $T_{3}=1+2+3=6$

Παραπομπές

↑ Hardy & Wright, Thm. 227
↑ Hardy & Wright, Thm. 232
↑ Hardy & Wright, Thm. 234
↑ Hardy & Wright, Thm. 233
↑ Cooke, Roger (8 Νοεμβρίου 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. σελ. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
↑ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. σελ. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
↑ Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
↑ Smyly, J. Gilbart (1920). «Heron's Formula for Cube Root». Hermathena (Trinity College Dublin) 19 (42): 64–67. https://archive.org/details/sim_hermathena_1920_19_42/page/64.
↑ Crossley, John· W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. σελίδες 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.
↑ http://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/^{[νεκρός σύνδεσμος]}

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[2] Γνωστοί και ως ακέραιοι Eisenstein

[4] Ο nοστός τριγωνικός αριθμός είναι: $T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}$ Για παράδειγμα $T_{3}=1+2+3=6$

[1] Hardy & Wright, Thm. 227

[3] Hardy & Wright, Thm. 232

[5] Hardy & Wright, Thm. 234

[6] Hardy & Wright, Thm. 233

[4-7] Cooke, Roger (8 Νοεμβρίου 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. σελ. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.

[nen-8] Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. σελ. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.

[9] Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5

[10] Smyly, J. Gilbart (1920). «Heron's Formula for Cube Root». Hermathena (Trinity College Dublin) 19 (42): 64–67. https://archive.org/details/sim_hermathena_1920_19_42/page/64.

[oxf-11] Crossley, John· W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. σελίδες 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

[12] ttp://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/^{[νεκρός σύνδεσμος]}

[1]

[N 1]

[2]

[N 2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]