Statischer Auftrieb

Die Auftriebskraft eines in einem Fluid eingetauchten Körpers wirkt deswegen, weil der Druck eines Fluides im Schwerefeld mit der Tiefe zunimmt^[1]. Taucht beispielsweise ein prismatischer Körper mit seiner Grundfläche (vollständig) in ein Fluid ein, so ist der hydrostatische Druck an der Grundfläche größer als an der Deckfläche (der Oberseite)^[1], der statische Auftrieb ist bei ruhenden Fluiden die resultierende Kraft aus den vertikalen Kraftanteilen die an allen Oberflächen angreifen.^[1] Das Fluid kann eine Flüssigkeit wie Wasser oder auch ein Gas wie etwa Luft sein. Die hydrostatischen Drücke hängen von der Höhe der betrachteten Orte ab. Bei Objekten in bewegten Fluiden oder bei bewegten Objekten in ruhenden Fluiden kann auch der dynamische Auftrieb wirken.

Ist die Gewichtskraft des eingetauchten Körpers (auf den keine sonstige Krafteinwirkung wirkt) größer als die wirkende Auftriebskraft, so sinkt der Körper im Fluid ein, ist die Gewichtskraft kleiner, so schwimmt er im Fluid auf, ist die Gewichtskraft gleich, so ist er im Fluid in Schwebe. Der Schwebezustand kann im völlig untergetauchten Zustand sein (beispielsweise ein getauchtes U-Boot) als auch an der Oberfläche (U-Boot in Sehrohrtiefe, wenn gerade das Periskop aus dem Wasser ragt).

Ein voll beladenes Fährschiff, das tiefer ins Wasser einsinkt und mehr Wasser verdrängt als im unbeladenen Zustand, hat dann wegen der größeren Einsinktiefe mehr Auftrieb. Fährt dieses Schiff von der Nordsee in die Elbe, wechselt es also vom Salzwasser ins Süßwasser, so sinkt es im Süßwasser (das eine geringere Dichte hat als Salzwasser) weiter tiefer ein und hat dadurch dann wieder den gleichen Auftrieb.

Auf einen Körper, der in ein Fluid mit der Dichte ${\displaystyle \rho _{\mathrm {fluid} }(z)}$ getaucht ist, wirkt im Schwerefeld ${\displaystyle {\vec {g}}(z)}$ , parallel zur z-Richtung, ein Auftriebskraftvektor ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {A} }}$ :

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {A} }=-\iiint {\vec {g}}(z)\rho _{\mathrm {fluid} }(z)\mathrm {d} V}$

wirkt, für eine konstante Fluiddichte ${\displaystyle \rho _{\mathrm {fluid} }(z)=\rho _{\mathrm {fluid} }}$ in einer konstanten Fallbeschleunigung ${\displaystyle g(z)=g}$ gilt:

${\displaystyle F_{\mathrm {A} }=g\rho _{\mathrm {fluid} }V}$

mit

• der Betrag der Auftriebskraft ${\displaystyle F_{\mathrm {A} }=\left\|{\vec {F}}_{\mathrm {A} }\right\|}$
• der konstanten Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g=\left\|{\vec {g}}\right\|}$
• der konstanten Fluid-Dichte ${\displaystyle \rho _{\mathrm {fluid} }}$ und
• dem Volumenanteil des Körpers, dass sich unter der Fluidoberfläche befindet ${\displaystyle V}$

Dabei ist ${\displaystyle V}$ das vom Körper verdrängte Volumen des Fluids. Das Produkt ${\displaystyle \rho V}$ ist die Masse des vom Körper verdrängten Fluids. Und ${\displaystyle g\rho V}$ ist ihre Gewichtskraft. Dieser Zusammenhang ist als archimedisches Prinzip bekannt.

Das hydrostatische Paradoxon sagt aus, dass der Druck nur von der Tiefe und nicht von der Form eines Fluids abhängt. Daher ist die Auftriebskraft unabhängig von der Menge des Fluids, in dem der Körper eingetaucht ist.

Wirkt auf einem schwimmenden Körper (z. B. ein Schiff) in Ruhe ausschließlich die Fallbeschleunigung und der statische Auftrieb, ist die Auftriebskraft unabhängig von der Dichte des Fluides und berechnet sich zu:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {A} }=-{\vec {F}}_{\mathrm {G} }}$

mit der Gewichtskraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {G} }=\iiint {\vec {g}}(x,y,z)\rho _{\text{körper}}(x,y,z)\mathrm {d} V_{\text{körper}}}$ .Für eine konstante Fallbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {g}}(x,y,z)={\vec {g}}}$ gilt

${\displaystyle V=V_{\mathrm {Eindringung} }={\frac {\iiint {\rho }_{\mathrm {koerper} }\,\mathrm {d} V_{\text{körper}}}{{\bar {\rho }}_{\mathrm {fluid} }}}={\frac {{\bar {\rho }}_{\text{körper}}\,V_{\text{körper}}}{{\bar {\rho }}_{\mathrm {fluid} }}}={\frac {m_{\text{körper}}}{{\bar {\rho }}_{\mathrm {fluid} }}}}$

mit

• der mittleren Dichte (inkl. ev. Hohlräume) ${\displaystyle {\bar {\rho }}_{\text{körper}}={\frac {\iiint {\rho }_{\text{körper}}\,\mathrm {d} V_{\text{körper}}}{V_{\text{körper}}}}}$ .

Somit hängt die Eindringtiefe mit der dichtes Fluides zusammen, nicht jedoch die Auftriebskraft.

• Heißluft- und Gasballone steigen bei Windstille auf, wenn ihre mittlere Dichte geringer als die der umgebenden Luft ist. Das heißt, die Masse aller Bestandteile des Ballons, also der Korb, die Hülle und das darin befindliche Gas (heiße Luft oder Traggas), dividiert durch das Gesamtvolumen, muss kleiner sein als die Dichte der umgebenden Luft. In der Atmosphäre kann der Ballon dann auch durch Windströmungen auf und ab oder horizontal bewegt werden. Da die Luftdichte mit steigender Höhe abnimmt, gibt es für jedes Füllgas bei bestimmtem Volumen eine Grenzhöhe, bis zu der ein Ballon steigen kann. Diese Eigenschaft muss bei Wetterballons, die mithilfe von aufzeichnenden Messgeräten Wetterdaten sammeln, beachtet werden. Umgekehrt können, um das teure Füllgas Helium zu sparen, kleinere Ballons gewählt werden, wenn nur tiefere Luftschichten untersucht oder Fotoaufnahmen aus geringerer Höhe gemacht werden sollen. Wegen des mit der Höhe abnehmenden Luftdrucks dehnen sich Luftballone beim Aufsteigen auf und können deswegen auch zerplatzen, anstatt von Winden weitergetragen zu werden.
• Bei der natürlichen Konvektion sorgen Dichteunterschiede für eine Schwerkraftzirkulation, die bei der (veralteten) Schwerkraftheizung genutzt wurde.
• Schiffe schwimmen auf dem Wasser, weil der in das Wasser eingetauchte Teil des Schiffes leichter ist als das verdrängte Wasser und das Gesamtgewicht des Schiffes dem Gesamtgewicht des von ihm verdrängten Wassers entspricht. Wegen der großen Lufträume hat ein Schiff trotz der schweren Werkstoffe eine geringere mittlere Dichte als Wasser. Schwimmende Schiffe befinden sich in einem stabilen Gleichgewicht: Wenn sie tiefer eintauchen, dann vergrößert sich der Auftrieb und sie werden wieder emporgehoben. Werden sie zu weit emporgehoben, dann verringert sich der Auftrieb, und die Schwerkraft lässt sie wieder eintauchen. Krängt ein Schiff nach einer Seite, z. B. bei Drehkreisfahrt oder Seitenwind, so erhöht sich der Tiefgang an dieser Seite, während er sich an der anderen Seite verringert. Entsprechend den veränderten Druckverhältnissen verschiebt sich der Auftriebsmittelpunkt und es entsteht ein Moment, das der Krängung entgegenwirkt und das Schiff wieder in die Ausgangslage bringt, sobald die äußere Einwirkung nachlässt.
• U-Boote: Beim statischen Tauchen werden Ballasttanks gezielt geflutet. Ein U-Boot kann dadurch in einer bestimmten Wassertiefe gehalten werden.
• Unterkellerte Bauwerke sind bei hohem Grundwasserstand vom Auftrieb bedroht. Ein Haus mit einem wasserdichten Keller aus Stahlbeton kann bei steigendem Wasser aufschwimmen. Deshalb werden solche Keller bei Überschwemmungen zuweilen absichtlich geflutet.
• Gerätetaucher tarieren mit Hilfe einer Tarierweste, die über die Pressluftflasche gefüllt werden kann. Ein Füllen der Tarierweste führt zu höherem Auftrieb (positiver Auftrieb), das Volumen des verdrängten Wassers nimmt zu und der Taucher steigt auf. Da mit abnehmender Tauchtiefe der Wasserdruck weiter sinkt, dehnt sich die Tarierweste weiter aus, und der Taucher steigt noch schneller auf. Um nicht an die Wasseroberfläche getrieben zu werden, muss wieder Luft aus der Tarierweste abgelassen werden. Auch die Atmung der Pressluft führt zu einer Volumenänderung des Oberkörpers. Dieser Effekt kann ebenfalls in kleinerem Rahmen zur Tarierung verwendet werden.
• Vulkanismus, Geysire oder Schlammtöpfe basieren auf Auftriebseffekten ebenso wie das Aufsteigen von Dampfblasen vom Gefäßgrund einer beim Kochen von unten erhitzten Flüssigkeit.

Bei Hochwasser stellen alle gelagerten, unbefestigte Güter, die aufschwimmen können, ein Gefahrenpotential dar. Ein Heizöltank kann im gefluteten Tankraum aufschwimmen, kippen, Leitungen können abreißen und lecken. Geschlägertes Holz, Seecontainer oder Wechselaufbauten können bei erhöhtem Wasserstand abtreiben und durch Anstoßen an Brückenpfeilern, Verklausen (Verschließen der Durchflüsse) von Brücken oder Rammen von Hochwasserschutzwänden zu schweren Schäden führen.^[3] Ebenso können leere Schwimmbecken im dann erhöhten Grundwasser aufschwimmen.

Steigen Methan­blasen von submarinen Methanhydrat-Lagerstätten auf, so kann das für die Schifffahrt eine Gefahr darstellen. Schottische Wissenschaftler führen darauf das Sinken eines im Hexenloch in der Nordsee entdeckten Fischkutters zurück. Die aufsteigenden Gasblasen können demnach die Dichte des Meerwassers so sehr verringern, dass Schiffe schlagartig ihre Schwimmfähigkeit verlieren.^[4] Derselbe Blowout-Effekt ist eine der Theorien für das Verschwinden von Schiffen im Bermuda-Dreieck.

Genauso wie Hochofenschlacke (Dichte 2.800 kg/m³ bis 4.000 kg/m³) auf flüssigem Roheisen (Dichte bei 20 °C 7.874 kg/m³) schwimmt, so würde ein Mensch, der zum Großteil aus Wasser (Dichte rund 1.000 kg/m³) besteht, in flüssiger Schlacke oder flüssigem Roheisen nicht weit einsinken. Eine "Leiche in Schlacke" in der Fernsehreihe Tatort^[5], von der nur die Gerippehand und der Schädel aus der Schlacke herausragen, ist daher Fiktion.

Wiktionary: Auftrieb – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Statischer Auftrieb – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Versuche und Aufgaben zum statischen Auftrieb (LEIFI)

1. ↑ ^{a b c} Douglas C. Giancoli: Physik. ISBN 3868940235 S. 460 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. ↑ Diese Gebäude wurden viel teurer als geplant; bei weser-kurier.de
3. ↑ Hochwasserbilanz: 4.000 Objekte betroffen. noe.orf.at, 17. Juni 2013
4. ↑ BBC News: North Sea wreck in methane mystery. 29. November 2000 (abgerufen am 23. Juli 2013).
5. ↑ Leiche in Schlacke am Tatort Weimar