„Statischer Auftrieb“ – Versionsunterschied
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Zeile 20: Auf einen Körper, der in ein Fluid mit der [[Dichte]] <math>\rho_{\mathrm{fluid}}(z)</math> getaucht ist, wirkt im [[Schwerefeld]] <math>\vec{g}(z)</math>, parallel zur z-Richtung, ein Auftriebskraftvektor <math>\vec{F}_{\mathrm A}</math>: : <math>\vec{F}_{\mathrm A} = -\iiint \vec{g}(z) \rho_{\mathrm{fluid}}(z) \mathrm wirkt, für eine konstante Fluiddichte <math>\rho_{\mathrm{fluid}}(z)=\rho_{\mathrm{fluid}}</math> in einer konstanten [[Schwerefeld|Fallbeschleunigung]] <math>g(z)=g</math> gilt: : <math>|F_{\mathrm A}| = |g| \rho_{\mathrm{fluid}} V </math> mit * der Betrag der Auftriebskraft <math>F_{\mathrm A}=\left\|\vec{F}_{\mathrm A}\right\|</math> Zeile 37: mit der Gewichtskraft <math>\vec{F}_{\mathrm G}=\iiint \vec{g}(x,y,z) \rho_{\text{körper}}(x,y,z) \mathrm dV_{\text{körper}}</math>. Für eine konstante Fallbeschleunigung <math>\vec{g}(x,y,z)=\vec{g}</math> gilt :<math>V=V_{\mathrm{Eindringung}}(\bar{\rho}_{\mathrm{fluid}})=\frac{\iiint{\rho}_{\mathrm{koerper}}\,\mathrm dV_{\text{körper}}}{\bar{\rho}_{\mathrm{fluid}}}=\frac{\bar{\rho}_{\text{körper}}\,V_{\text{körper}}}{\bar{\rho}_{\mathrm{fluid}}}=\frac{m_{\text{körper}}}{\bar{\rho}_{\mathrm{fluid}}}</math> mit * der mittleren Dichte (inkl. ev. Hohlräume) <math>\bar{\rho}_{\text{körper}}=\frac{\iiint{\rho}_{\text{körper}}\,\mathrm dV_{\text{körper}}}{V_{\text{körper}}}</math>. Somit hängt die Eindringtiefe mit der dichtes Fluides zusammen, nicht jedoch die Auftriebskraft. {| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;" |style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Beweis''' |- | :Die Auftriebskraft hängt von der Dichte und vom Volumen ab: <math>\vec{F}_{\mathrm A} = -\iiint \vec{g}(z) \rho_{\mathrm{fluid}}(z) \mathrm dV_{\mathrm{Eindringung}} </math> :Gleichzeitig gilt [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]]: Auftriebskraft+Gewichtskraft=0. Die Gewichtskraft ist idR von der Masse des Körpers vorgegeben, daher gibt die Masse des Körpers auch die Auftriebskraft vor: <math>\vec{F}_{\mathrm A} = -\iiint \vec{g}(z) \rho_{\text{körper}}(z) \mathrm dV_{\text{körper}} </math> :Da beide Gleichungen für die Auftriebskraft notwendig sind, gilt: <math>\vec{F}_{\mathrm A} = -\iiint \vec{g}(z) \rho_{\mathrm{fluid}}(z) \mathrm dV_{\mathrm{Eindringung}} =-\iiint \vec{g}(z) \rho_{\text{körper}}(z) \mathrm dV_{\text{körper}}</math>. :Für homogene Dichten und ein homogenes Schwerefeld folgt mit <math>V_{\mathrm{Eindringung}}(\rho_{\mathrm{fluid}})=\frac{m_{\text{körper}}}{{\rho}_{\mathrm{fluid}}}</math>: : <math>-\vec{F}_{\mathrm A} = \vec{g} \rho_{\mathrm{fluid}} V_{\mathrm{Eindringung}}(\rho_{\mathrm{fluid}}) = \vec{g} \rho_{\mathrm{fluid}}\,\frac{m_{\text{körper}}}{{\rho}_{\mathrm{fluid}}}=-\vec{g}\,m_{\text{körper}}</math>, somit ist ''bewiesen'', dass die Auftriebskraft unahängig von der Dichte ist. |} == Beispiele == | |||
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