Für eine reelle Zahl p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} wird das Hölder-Mittel der Zahlen x 1 , … , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0} zur Stufe p {\displaystyle p} definiert als
M p ( x 1 , … , x n ) = ( 1 n ⋅ ∑ i = 1 n x i p ) 1 / p = x 1 p + x 2 p + … + x n p n p {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}={\sqrt[{p}]{\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\ldots +x_{n}^{p}}{n}}}} ,wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen p {\displaystyle p} verwendet wird.
Eine dazu passende Definition für p = 0 {\displaystyle p=0} ist
M 0 ( x 1 , … , x n ) := lim s → 0 M s ( x 1 , … , x n ) . {\displaystyle M_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\lim _{s\to 0}M_{s}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}
Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich x 1 … , x n {\displaystyle x_{1}\ldots ,x_{n}} , das heißt M p ( α x 1 , … , α x n ) = α ⋅ M p ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(\alpha \,x_{1},\ldots ,\alpha \,x_{n})=\alpha \cdot M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})} M p ( x 1 , … , x n ⋅ k ) = M p ( M p ( x 1 , … , x k ) , M p ( x k + 1 , … , x 2 ⋅ k ) , … , M p ( x ( n − 1 ) ⋅ k + 1 , … , x n ⋅ k ) ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))} Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist p < q ⇒ M p ( x 1 , … , x n ) ≤ M q ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle p<q\quad \Rightarrow \quad M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\ldots ,x_{n})} Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte min ( x 1 , … , x n ) ≤ x ¯ h a r m ≤ x ¯ g e o m ≤ x ¯ a r i t h m ≤ x ¯ q u a d r ≤ x ¯ k u b i s c h ≤ max ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})} Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten m p {\displaystyle m_{p}} um Null recht einfach in Beziehung: x ¯ ( p ) = m p p {\displaystyle {\bar {x}}(p)={\sqrt[{p}]{m_{p}}}} Vier Mittelwerte zweier Werte a, b : H = Harmonisches Mittel, G = Geometrisches Mittel, A = Arithmetisches Mittel, Q = Quadratisches Mittel Mittels Wahl eines geeigneten Parameters p {\displaystyle p} ergeben sich die bekannten Mittelwerte:
lim p → − ∞ {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }} M p ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})} = min { x 1 , … , x n } {\displaystyle =\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} Minimum p = − 1 {\displaystyle p=-1} M − 1 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})} = n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle ={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} Harmonisches Mittel lim p → 0 {\displaystyle \lim _{p\to 0}} M p ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})} = x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x n n {\displaystyle ={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}} Geometrisches Mittel p = 1 {\displaystyle p=1} M 1 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})} = x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle ={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}} Arithmetisches Mittel p = 2 {\displaystyle p=2} M 2 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})} = x 1 2 + ⋯ + x n 2 n {\displaystyle ={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}} Quadratisches Mittel p = 3 {\displaystyle p=3} M 3 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})} = x 1 3 + ⋯ + x n 3 n 3 {\displaystyle ={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}} Kubisches Mittel lim p → ∞ {\displaystyle \lim _{p\to \infty }} M p ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})} = max { x 1 , … , x n } {\displaystyle =\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} Maximum
Weitere Verallgemeinerungen Bearbeiten
Gewichtetes Hölder-Mittel Bearbeiten Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten ω 1 , ω 2 , … , ω n {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}} mit ω 1 + ω 2 + … + ω n = 1 {\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}+\ldots +\omega _{n}=1} definieren als
M ω p = ( ω 1 ⋅ x 1 p + ω 2 ⋅ x 2 p + … + ω n ⋅ x n p ) 1 / p , {\displaystyle {M_{\omega }}^{p}=\left(\omega _{1}\cdot x_{1}^{p}+\omega _{2}\cdot x_{2}^{p}+\ldots +\omega _{n}\cdot x_{n}^{p}\right)^{1/p},} wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel ω 1 = ω 2 = … = ω n = 1 n {\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}=\ldots =\omega _{n}={\tfrac {1}{n}}} verwendet wird.
Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu
M f ( x 1 , … , x n ) = f − 1 ( 1 n ⋅ ∑ i = 1 n f ( x i ) ) {\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)} bzw. gewichtet zu
M f ( x 1 , … , x n ) = f − 1 ( ∑ i = 1 n ω i f ( x i ) ) {\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\sum _{i=1}^{n}{\omega _{i}f(x_{i})}}\right)} Dabei ist f {\displaystyle f} eine Funktion von x {\displaystyle x} ; das Hölder-Mittel verwendet f ( x ) = x p {\displaystyle \,f(x)=x^{p}} .
Weitere Beispiele :
Sind x 1 , … , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0} die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren 1 {\displaystyle 1} bis n {\displaystyle n} , so erhält man die mittlere Rendite als f {\displaystyle f} -Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion f ( x ) = ln ( 1 + x ) {\displaystyle \,f(x)=\ln(1+x)} . Sind x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} die Alter von n {\displaystyle n} Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als f {\displaystyle f} -Mittel der einzelnen Alter zur Funktion f ( x ) = μ x {\displaystyle \,f(x)=\mu _{x}} ; dabei bedeutet μ x {\displaystyle \,\mu _{x}} die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit q x {\displaystyle \,q_{x}} ersetzt. Julian Havil : Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung , Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0 P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities . Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, S. 175–265