Como Determinar as Coordenadas de um Ponto de Inflexão de uma Função

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Neste Artigo:

Entendendo os conceitos fundamentais

Determinando as derivadas da função

Determinando o ponto de inflexão

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Referências

Em cálculo diferencial, o ponto de inflexão é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal (de mais para menos e de menos para mais). Esse é um conceito aplicado em várias disciplinas (incluindo engenharia, economia e estatística) para determinar variações de dados. Se você precisa aprender como encontrar os pontos de inflexão de uma curva, siga os passos a seguir.

Passos

Parte 1

Parte 1 de 3:

Entendendo os conceitos fundamentais

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   Entenda o que é uma função côncava. Para entender o que são pontos de inflexão, primeiro é preciso saber distinguir uma função côncava de uma função convexa. Uma função côncava é uma função para qual não existe nenhum segmento de reta que una dois pontos do seu gráfico e que fique acima dele.
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   Entenda o que é uma função convexa. Uma função convexa é essencialmente o oposto de uma função côncava: para esse tipo de função, não existe nenhum segmento de reta que una dois pontos do seu gráfico e que fique abaixo dele.
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   Entenda o que é a raiz de uma função. A raiz de uma função é o ponto onde ela é igual a zero.

   • No gráfico de uma função, as raízes são os pontos do gráfico que cruzam o eixo das abscissas (eixo x).
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Parte 2

Parte 2 de 3:

Determinando as derivadas da função

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   Calcule a primeira derivada da função. Antes de encontrar um ponto de inflexão de uma determinada função, determine as derivadas da mesma. O método para se determinar a derivada de uma função algébrica pode ser encontrado facilmente em qualquer livro-texto de Cálculo (você precisa aprender como derivar antes de seguir para os próximo passos). A primeira derivada de uma função é representada por f′(x). Para funções no formato axp + bx(p−1) + cx + d, a primeira derivada será apx(p−1) + b(p − 1)x(p−2) + c.

   • Para exemplificar, suponha que você precisa determinar o ponto de inflexão da função f(x) = x³ +2x − 1. Para calcular a primeira derivada dessa função, faça o seguinte:
     
     f′(x) = (x³ +2x − 1)′ = (x³)′ + (2x)′ − (1)′ = 3*x² + 2 + 0 = 3x² + 2.
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   Calcule a segunda derivada da função. A segunda derivada da função é a primeira derivada da primeira derivada da função e é representada por f′′(x).

   • Continuando o exemplo acima, faça o seguinte para determinar a segunda derivada da função:
     
     f ′′(x) = (3x² + 2)′ = 2*3*x + 0 = 6x.
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   Iguale a segunda derivada a zero. Iguale a expressão obtida como segunda derivada a zero e resolva a equação. O resultado da equação será um possível ponto de inflexão.

   • No exemplo acima, o cálculo seria feito da seguinte maneira:
     
     f′′(x) = 0
     6x = 0
     x = 0.
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   Calcule a terceira derivada da função. Para garantir que a solução encontrada é realmente um ponto de inflexão, encontre a terceira derivada da função, representada por f ′′′(x): para isso, derive uma vez a segunda derivada da função.

   • Continuando o exemplo, teremos:
     
     f ′′′(x) = (6x)′ = 6.
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Parte 3

Parte 3 de 3:

Determinando o ponto de inflexão

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   Avalie a terceira derivada da função. A regra básica para identificar um possível ponto de inflexão é "se a terceira derivada de uma função for diferente de zero, ou seja, f′′′(x) ≠ 0, então o possível ponto de inflexão é de fato um ponto de inflexão". Verifique a terceira derivada: se ela não for igual zero, então o candidato a ser ponto de inflexão (obtido ao resolver a equação que representa a segunda derivada) é realmente um ponto de inflexão.

   • No exemplo acima, a terceira derivada é 6, e não 0; portanto, o candidato a ser ponto de inflexão é verdadeiramente um ponto de inflexão.
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   Determine o ponto de inflexão. As coordenadas do ponto de inflexão são representadas pelo par ordenado (x,f(x)), onde x representa o valor obtido ao resolver a equação da segunda derivada e f(x) representa o valor da função no ponto de inflexão.

   • No exemplo acima, o valor obtido ao igualar a segunda derivada a zero foi x = 0. Agora, é preciso calcular o valor de f(0) para determinar as coordenadas. Ao substituir o valor de x, teremos:
     
     f(0) = 0³ +2*0 − 1 = −1.
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   Escreva o par ordenado. As coordenadas do ponto de inflexão serão o valor de x e o valor calculado acima.

   • No exemplo acima, as coordenadas do ponto de inflexão são (0, -1).
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Dicas

• A primeira derivada de uma constante é sempre igual a zero.

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